Resolva os sistemas abaixo:
v times(-i+2 j+k)=8 i+8 k v bul<=t(2 i+k)=2

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec v em R^3 tal que
vec v times (-vec i + 2vec j + vec k) = 8vec i + 8vec k
e
vec v cdot (2vec i + vec k) = 2
O conteúdo necessário é a fórmula do produto vetorial para obter equações em cada componente e a definição de produto escalar.

Passo 2

Escrevemos vec v = xvec i + yvec j + zvec k e vec a = -vec i + 2vec j + vec k. Para o produto vetorial usamos
vec v times vec a = (y,a3 - z,a2),vec i + (z,a1 - x,a3),vec j + (x,a2 - y,a1),vec k
Aqui a1=-1,;a2=2,;a3=1.

Passo 3

Substituindo em vec v times vec a = 8vec i + 0vec j + 8vec k obtemos o sistema
ycdot1 - zcdot2 = 8, zcdot(-1) - xcdot1 = 0, xcdot2 - ycdot(-1) = 8
Isto é
y - 2z = 8, -x - z = 0, 2x + y = 8

Passo 4

Da condição escalar vec v cdot (2vec i + vec k)=2 vem
2x + z = 2

Passo 5

Do segundo da cruz
-x - z = 0 temos z = -x.
Substituindo em 2x + z = 2 2x - x = x = 2.
Logo x=2, z=-2.
Em 2x + y = 8 vem 4 + y = 8, então y = 4.

Resposta

vec v = 2vec i + 4vec j - 2vec k.

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