Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u=2 i-j+k e v=i-j e w=x i+j-3 k, seja unitário. RESP: x=-5 ou x=-3

Passo 1

O enunciado pede para determinar o(s) valor(es) de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores
u = 2i - j + k,
v = i - j e
w = xi + j - 3k
seja unitário.
Conteúdo: vamos usar o produto misto de vetores, que é dado pelo determinante de uma matriz 3times3 com as componentes dos vetores.

Passo 2

O volume do paralelepípedo é dado por
V = l|det [,u,v,w,]r|
Escolhendo a matriz cujas linhas são as coordenadas de u,v,w, temos
det [,u,v,w,] = det 2 & 1 & x -1 & -1 & 1 1 & 0 & -3

Passo 3

Expandindo pela primeira linha:
det 2 & 1 & x -1 & -1 & 1 1 & 0 & -3 = 2det-1 & 10 & -3 -1det-1 & 11 & -3 + xdet-1 & -11 & 0
Calculando cada menor:
2[(-1)(-3) - (1cdot0)] ; - ; 1[(-1)(-3)-(1cdot1)] ; + ; x[(-1cdot0)-((-1)cdot1)] = 2(3) - 1(2) + x(1) = 6 - 2 + x = 4 + x
Logo
det [,u,v,w,] = 4 + x

Passo 4

Como o volume deve ser 1, impomos
|4 + x| = 1
Isso gera duas equações:
4 + x = 1 Longrightarrow x = -3,
4 + x = -1 Longrightarrow x = -5

Resposta

x = -5 ou x = -3.

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