Determine sobre o eixo um ponto , tal que, o volume do tetraedro PABC seja o dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: , e .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um ponto P sobre o eixo OX (ou seja, P=(x,0,0)) tal que o volume do tetraedro PABC seja o dobro do volume do tetraedro POBC. Vamos usar o fato de que o volume de um tetraedro com vértices X,Y,Z,W é
VolXYZW=16l|det(XY,XZ,XW)r|

Passo 2

Parametrizamos P por
P=(x,0,0)
Então
PA=A-P=(1-x,0,0),
PB=B-P=(-x,1,0),
PC=C-P=(-x,0,1),
PO=O-P=(-x,0,0).

Passo 3

Escrevemos as duas volumes em termos de determinantes:
VolPABC =16l|det(PA,PB,PC)r|,
VolPOBC =16l|det(PO,PB,PC)r|

Passo 4

Calculamos os determinantes:
det(PA,PB,PC) =det1-x&0&0-x&1&0-x&0&1 =1-x,
det(PO,PB,PC) =det-x&0&0-x&1&0-x&0&1 =-,x

Passo 5

A condição VolPABC=2,VolPOBC vira
16|1-x|=2;16|-x| Longrightarrow |1-x|=2|x|
Resolvendo em duas regiões:
  • Se x>=0, então |x|=x e |1-x|=1-x (para x<=1). Logo 1-x=2ximplies x=tfrac13.
  • Se x<0, então |x|=-x e |1-x|=1-x. Logo 1-x=2(-x)implies1-x=-2ximplies x=-1.

Passo 6

Assim, os pontos procurados em OX são
P=l(-1,0,0r) ou P=l(tfrac13,0,0r)

Resposta

(-1,0,0) ou l(tfrac13,0,0r)

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