Determine sobre o eixo um ponto , tal que, o volume do tetraedro PABC seja o dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: , e .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um ponto sobre o eixo (ou seja, ) tal que o volume do tetraedro seja o dobro do volume do tetraedro . Vamos usar o fato de que o volume de um tetraedro com vértices é
Passo 2
Parametrizamos P por
P=(x,0,0)
Então PA=A-P=(1-x,0,0), PB=B-P=(-x,1,0), PC=C-P=(-x,0,1), PO=O-P=(-x,0,0).
Passo 3
Escrevemos as duas volumes em termos de determinantes:
VolPABC =16l|det(PA,PB,PC)r|,
VolPOBC =16l|det(PO,PB,PC)r|
Passo 4
Calculamos os determinantes:
det(PA,PB,PC) =det1-x&0&0-x&1&0-x&0&1 =1-x,
det(PO,PB,PC) =det-x&0&0-x&1&0-x&0&1 =-,x
Passo 5
A condição VolPABC=2,VolPOBC vira
16|1-x|=2;16|-x| Longrightarrow |1-x|=2|x|
Resolvendo em duas regiões:
Se x>=0, então |x|=x e |1-x|=1-x (para x<=1). Logo 1-x=2ximplies x=tfrac13.
Se x<0, então |x|=-x e |1-x|=1-x. Logo 1-x=2(-x)implies1-x=-2ximplies x=-1.