Determinar o valor de k para que seja Ll o conjunto
(-1,0,2),(1,1,1),(k,-2,0)

Passo 1

O enunciado pede o valor de k para que o conjunto de vetores
(-1,0,2),,(1,1,1),,(k,-2,0) seja linearmente livre em R^3. Para isso, vamos usar o critério de independência que diz que os vetores são linearmente livres se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas linhas são os vetores dados:
A = -1 & 0 & 2 1 & 1 & 1 k & -2 & 0
O conjunto será linearmente livre se, e somente se,
det(A)neq 0

Passo 3

Calculamos det(A) desenvolvendo pela primeira linha:
det(A) = -1det1 & 1 -2 & 0 + 0det1 & 1 k & 0 + 2det1 & 1 k & -2
Agora os menores:
det1 & 1 -2 & 0 = 1cdot0 - 1cdot(-2) = 2,
det1 & 1 k & -2 = 1cdot(-2) - 1cdot k = -2 - k
Substituindo,
det(A) = -1cdot2 + 2cdot(-2 - k) = -2 -4 -2k = -6 -2k

Passo 4

Impondo det(A)neq 0 temos
-6 - 2k neq 0 Longrightarrow k + 3 neq 0 Longrightarrow k neq -3

Resposta

k neq -3

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