Determinar o valor máximo de f(x, y)=3 x^3+3 y^3-9 x-9 y na região delimitada pelo triângulo de vértices $(0,3),(3,0),(0,0).
Resposta: (0,3),(3,0),(0,0) Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da função f(x, y) = 3x^3 + 3y^3 - 9x - 9y dentro de uma região que é um triângulo com vértices nos pontos (0,3), (3,0) e (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e análise de regiões delimitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função f(x, y) . Esses pontos são onde as derivadas parciais em relação a x e y são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
fx = partial fpartial x = 9x^2 - 9
fy = partial fpartial y = 9y^2 - 9

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
9x^2 - 9 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = 1 ou x = -1
9y^2 - 9 = 0 Rightarrow y^2 = 1 Rightarrow y = 1 ou y = -1
Como estamos trabalhando dentro do triângulo (0,0), (3,0), (0,3), consideramos apenas x >= 0 e y >= 0 . Portanto, o ponto crítico relevante é (1,1).

Passo 4

Vamos verificar o valor da função nesse ponto crítico:
f(1,1) = 3(1)^3 + 3(1)^3 - 9(1) - 9(1) = 3 + 3 - 9 - 9 = -12
Esse é um ponto onde a função tem um valor de -12, mas precisamos encontrar o máximo, então vamos analisar os limites da região.

Passo 5

Vamos examinar os limites da região, ou seja, as arestas do triângulo. Precisamos verificar onde a função atinge seus valores máximos nessas bordas.
Aresta 1: De (0,0) a (3,0), onde y = 0 .
A função simplifica para:
f(x,0) = 3x^3 - 9x
Vamos encontrar os máximos dessa função no intervalo x in [0,3] .
Derivada:
f'(x) = 9x^2 - 9
Igualando a zero:
9x^2 - 9 = 0 Rightarrow x = 1 ou x = -1
Dentro do intervalo, temos x = 1 .
Valores:
f(1,0) = 3(1)^3 - 9(1) = 3 - 9 = -6
f(0,0) = 0
f(3,0) = 3(27) - 9(3) = 81 - 27 = 54
O máximo nessa aresta é 54 no ponto (3,0).

Passo 6

Aresta 2: De (0,0) a (0,3), onde x = 0 .
A função fica:
f(0,y) = 3y^3 - 9y
Vamos encontrar os máximos no intervalo y in [0,3] .
Derivada:
f'(y) = 9y^2 - 9
Igualando a zero:
9y^2 - 9 = 0 Rightarrow y = 1 ou y = -1
Dentro do intervalo, temos y = 1 .
Valores:
f(0,1) = 3(1)^3 - 9(1) = 3 - 9 = -6
f(0,0) = 0
f(0,3) = 3(27) - 9(3) = 81 - 27 = 54
O máximo nessa aresta também é 54 no ponto (0,3).

Passo 7

Aresta 3: De (3,0) a (0,3), onde x + y = 3 . Podemos expressar y em função de x : y = 3 - x .
Substituindo na função:
f(x,3-x) = 3x^3 + 3(3-x)^3 - 9x - 9(3-x)
Vamos simplificar essa expressão:
f(x,3-x) = 3x^3 + 3(27 - 27x + 9x^2 - x^3) - 9x - 27 + 9x
= 3x^3 + 81 - 81x + 27x^2 - 3x^3 - 9x - 27 + 9x
= 27x^2 - 81x + 54
Essa é uma função quadrática. Para encontrar o máximo, analisamos os extremos dentro do intervalo x in [0,3] .
Como o coeficiente de x^2 é positivo ( 27), a parábola abre para cima, indicando que o mínimo ocorre no vértice, e os máximos estão nos extremos do intervalo.
Valores:
f(0,3) = 54
f(3,0) = 54
Portanto, o máximo nessa aresta é 54.

Resposta

O valor máximo de f(x, y) na região especificada é 54.
square

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