Determinar o valor máximo de
na região delimitada pelo triângulo de vértices $(0,3),(3,0),(0,0).
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da função
dentro de uma região que é um triângulo com vértices nos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e análise de regiões delimitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
. Esses pontos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Como estamos trabalhando dentro do triângulo
,
,
, consideramos apenas
e
. Portanto, o ponto crítico relevante é
.
Passo 4
Vamos verificar o valor da função nesse ponto crítico:
Esse é um ponto onde a função tem um valor de
, mas precisamos encontrar o máximo, então vamos analisar os limites da região.
Passo 5
Vamos examinar os limites da região, ou seja, as arestas do triângulo. Precisamos verificar onde a função atinge seus valores máximos nessas bordas.
Aresta 1: De
a
, onde
.
A função simplifica para:
Vamos encontrar os máximos dessa função no intervalo
.
Derivada:
Igualando a zero:
Dentro do intervalo, temos
.
Valores:
O máximo nessa aresta é
no ponto
.
Passo 6
Aresta 2: De
a
, onde
.
A função fica:
Vamos encontrar os máximos no intervalo
.
Derivada:
Igualando a zero:
Dentro do intervalo, temos
.
Valores:
O máximo nessa aresta também é
no ponto
.
Passo 7
Aresta 3: De
a
, onde
. Podemos expressar
em função de
:
.
Substituindo na função:
Vamos simplificar essa expressão:
Essa é uma função quadrática. Para encontrar o máximo, analisamos os extremos dentro do intervalo
.
Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima, indicando que o mínimo ocorre no vértice, e os máximos estão nos extremos do intervalo.
Valores:
Portanto, o máximo nessa aresta é
.
Resposta
O valor máximo de
na região especificada é
.