Verifique se a série abaixo converge ou diverge:
sumn=1^+infty(n+12 n+1)^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty(n+12n+1)^n
O conteúdo envolvido são séries numéricas e vamos empregar o Teste da Raiz para checar convergência absoluta.

Passo 2

O Teste da Raiz diz que, para an real, se
L = limntoinftyraiz[n]lvert anrvert
existe, então
  • se L<1 a série sum an converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso temos
an = (n+12n+1)^n,
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raiz[n]lvert anrvert = n+12n+1

Passo 4

Calculamos o limite do fator acima:
limntoinftyn+12n+1 =limntoinfty1 + 1n2 + 1n =12
Como tfrac12<1, pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta) pelo Teste da Raiz.

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