Determine a equação do plano que passa pelo ponto
e determina com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo.
O valor do volume do tetraedro é igual a:
Resposta:
O valor do volume do tetraedro é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação de um plano que passa pelo ponto
e que, junto com os planos coordenados, forma um tetraedro de volume mínimo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e cálculo de volume de tetraedros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um plano no espaço tridimensional. A equação pode ser escrita na forma:
Aqui,
,
e
são os interceptos do plano com os eixos
,
e
, respectivamente. Esses pontos onde o plano intercepta os eixos formam os vértices do tetraedro com a origem.
Passo 3
Sabemos que o plano passa pelo ponto
. Vamos substituir essas coordenadas na equação do plano para relacionar
,
e
:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume
do tetraedro formado pelos interceptos
,
e
. A fórmula do volume do tetraedro é:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que minimizam esse volume, respeitando a condição que obtivemos no passo anterior.
Passo 5
Para minimizar o volume, podemos usar o princípio da desigualdade AM-GM (Média Aritmética - Média Geométrica). Aplicando essa desigualdade aos termos
,
e
, temos:
Sabemos que a soma desses termos é 1, então:
Elevando ambos os lados ao cubo:
Invertendo a desigualdade:
Então:
Passo 6
Agora, lembrando que o volume
é dado por:
Substituindo
:
Portanto, o volume mínimo do tetraedro é
unidades cúbicas.