Determine a equação do plano que passa pelo ponto (14, 18, 1) e determina com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo.
O valor do volume do tetraedro é igual a:
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação de um plano que passa pelo ponto (14, 18, 1) e que, junto com os planos coordenados, forma um tetraedro de volume mínimo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e cálculo de volume de tetraedros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um plano no espaço tridimensional. A equação pode ser escrita na forma:
xa + yb + zc = 1
Aqui, a, b e c são os interceptos do plano com os eixos x, y e z, respectivamente. Esses pontos onde o plano intercepta os eixos formam os vértices do tetraedro com a origem.

Passo 3

Sabemos que o plano passa pelo ponto (14, 18, 1). Vamos substituir essas coordenadas na equação do plano para relacionar a, b e c:
14a + 18b + 1c = 1
Simplificando, temos:
14a + 18b + 1c = 1

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume V do tetraedro formado pelos interceptos a, b e c. A fórmula do volume do tetraedro é:
V = a cdot b cdot c6
Nosso objetivo é encontrar os valores de a, b e c que minimizam esse volume, respeitando a condição que obtivemos no passo anterior.

Passo 5

Para minimizar o volume, podemos usar o princípio da desigualdade AM-GM (Média Aritmética - Média Geométrica). Aplicando essa desigualdade aos termos 14a, 18b e 1c, temos:
14a + 18b + 1c3 >= raiz[3]14a cdot 18b cdot 1c
Sabemos que a soma desses termos é 1, então:
13 >= raiz[3]132abc
Elevando ambos os lados ao cubo:
127 >= 132abc
Invertendo a desigualdade:
32abc >= 27
Então:
abc >= 2732

Passo 6

Agora, lembrando que o volume V é dado por:
V = abc6
Substituindo abc >= 2732:
V >= 27326 = 27192 = 964
Portanto, o volume mínimo do tetraedro é 964 unidades cúbicas.

Resposta

964

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