Verifique se a série abaixo converge ou diverge:
sumn=1^+infty 2n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^+infty 2n^2+1
Isto é um problema de séries numéricas, e vamos usar os testes de convergência para séries de termos positivos, em particular o teste de comparação com uma p-série.

Passo 2

Primeiro observamos a condição necessária de convergência: os termos devem tender a zero. Aqui
an = 2n^2+1,
e
limntoinftyan = limntoinfty2n^2+1=0
Como esse limite é zero, a condição necessária está satisfeita.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de comparação direta. Para todo n>=1 temos
n^2+1 >= n^2 Longrightarrow 2n^2+1<=2n^2
Sabemos que a p-série
sumn=1^+infty2n^2
converge, pois é uma p-série com p=2>1. Logo, pela comparação, a série
sumn=1^+infty2n^2+1
também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty2n^2+1 converge.

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