Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar o valor mínimo da função sujeita a restrição dada:
f(x, y)=8 x+12 y ; x^2+y^2=13
Se (x0, y0) é o ponto crítico, o valor do mínimo f(x0, y0) é:
Resposta: square

Passo 1

Aqui temos a função f(x, y) = 8x + 12y que queremos minimizar, sujeita à restrição x^2 + y^2 = 13 . Vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que nos ajuda a encontrar os pontos extremos de uma função quando ela está sujeita a alguma restrição.

Passo 2

Primeiro, definimos a função restrição como g(x, y) = x^2 + y^2 - 13 = 0 . Os multiplicadores de Lagrange nos dizem que, no ponto mínimo, o gradiente da função f é proporcional ao gradiente da restrição g . Isso se escreve como:
nabla f = lambda nabla g
Aqui, lambda é o multiplicador de Lagrange que precisamos encontrar.

Passo 3

Calculamos os gradientes de f e g :
nabla f = 8 12 e nabla g = 2x 2y
Então, de acordo com a equação dos multiplicadores de Lagrange:
8 = lambda cdot 2x 12 = lambda cdot 2y

Passo 4

Vamos resolver essas equações para lambda :
lambda = 82x = 4x e lambda = 122y = 6y
Igualando as duas expressões para lambda :
4x = 6y implies y = 32x

Passo 5

Substituímos y = 32x na restrição x^2 + y^2 = 13 :
x^2 + ( 32x )^2 = 13 x^2 + 94x^2 = 13 134x^2 = 13 x^2 = 4 x = pm 2

Passo 6

Com x = 2 , encontramos y = 3 .
Com x = -2 , encontramos y = -3 .

Resposta

O valor mínimo de f(x, y) ocorre no ponto (-2, -3) e é igual a:
f(-2, -3) = 8(-2) + 12(-3) = -16 - 36 = -52
boxed-52

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