Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar o valor mínimo da função sujeita a restrição dada:
Se é o ponto crítico, o valor do mínimo é:
Resposta:
Passo 1
Aqui temos a função que queremos minimizar, sujeita à restrição . Vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que nos ajuda a encontrar os pontos extremos de uma função quando ela está sujeita a alguma restrição.
Passo 2
Primeiro, definimos a função restrição como . Os multiplicadores de Lagrange nos dizem que, no ponto mínimo, o gradiente da função é proporcional ao gradiente da restrição . Isso se escreve como:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que precisamos encontrar.
Passo 3
Calculamos os gradientes de e :
Então, de acordo com a equação dos multiplicadores de Lagrange:
8 = lambda cdot 2x 12 = lambda cdot 2y
Passo 4
Vamos resolver essas equações para lambda :
lambda = 82x = 4x e lambda = 122y = 6y
Igualando as duas expressões para lambda :
4x = 6y implies y = 32x
Passo 5
Substituímos y = 32x na restrição x^2 + y^2 = 13 :