Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u=2 imath-jmath+k e v=imath-jmath e w=x imath+jmath-3 k, seja unitário.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
vec u = (2,-1,1), vec v = (1,-1,0) e vec w = (x,1,-3)
e pede x tal que o volume do paralelepípedo gerado por eles seja unitário.
Lembrando que esse volume é dado por
V = l|det[vec u,vec v,vec w]r| = l|vec ucdot(vec vtimesvec w)r|

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial vec vtimesvec w usando determinante:
vec vtimesvec w = i & j & k 1 & -1 & 0 x & 1 & -3 = l((-1)(-3)-0cdot1,;-l(1cdot(-3)-0cdot xr),;1cdot1-(-1)cdot xr)
Isso simplifica para
vec vtimesvec w = (3,,3,,x+1)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar vec ucdot(vec vtimesvec w):
vec ucdot(vec vtimesvec w) = (2,-1,1)cdot(3,3,x+1) = 2cdot3 + (-1)cdot3 + 1cdot(x+1) = 6 - 3 + x + 1 = x + 4

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse escalar, portanto
V = |x+4|
Para ter V=1, impomos
|x+4| = 1 Longrightarrow x+4 = 1 ;ou; x+4 = -1
Assim
x = -3 ou x = -5

Resposta

x = -3 ou x = -5.

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