Verifique se o conjunto X=(2,1,1),(0,2,2),(2,-1,0) gera o espaço R^3 e, no caso afirmativo, escreva o vetor v=(8,2,5) como combinação linear dos vetores de X.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
X=v1,v2,v3 com
v1=(2,1,1), v2=(0,2,2), v3=(2,-1,0)
gera o espaço R^3, ou seja, se span(X)=R^3.
O conteúdo usado será teste de geradores via determinante (ou independência linear) e, em seguida, escrever um vetor como combinação linear.

Passo 2

Formamos a matriz M cujas colunas são os vetores de X:
M= 2 & 0 & 2 1 & 2 & -1 1 & 2 & 0
Calculamos o determinante por regra de Sarrus ou expansão:
det(M) =2l(2cdot0-(-1)cdot2r)-0cdot(cdots)+2l(1cdot2-2cdot1r) =2(0+2)+2(2-2) =4+0 =4

Passo 3

Como det(M)=4neq0, os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes e, por terem três vetores em R^3, formam uma base. Logo, X gera R^3.

Passo 4

Para expressar v=(8,2,5) como combinação linear de v1,v2,v3, colocamos
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (8,2,5)
e obtemos o sistema
2a + 0b + 2c = 8, 1a + 2b - 1c = 2, 1a + 2b + 0c = 5

Passo 5

Da terceira e segunda equações:
(a+2b) - (a+2b - c) = 5 - 2 Longrightarrow c=3
Substituindo c=3 na primeira:
2a + 2cdot3 = 8 Longrightarrow 2a=2 Longrightarrow a=1
Finalmente, na terceira:
1 + 2b = 5 Longrightarrow 2b=4 Longrightarrow b=2

Resposta

X gera R^3 e
(8,2,5) = 1,(2,1,1) ;+; 2,(0,2,2) ;+; 3,(2,-1,0)

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