Seja o Triângulo A B C formado pelos pontos A(1,1,2), B(5,1,3) e C(-3,9,3). Analisando esse triângulo A B C, responda:
Calcule a área do triângulo ABC;

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo ABC cujos vértices são
A(1,1,2), B(5,1,3), C(-3,9,3)
O conteúdo aqui é geometria analítica em R^3: usaremos vetores e o produto vetorial para obter a área pela fórmula
área = tfrac12 llVert ABtimes ACrrVert á

Passo 2

Primeiro, vamos montar os vetores AB e AC subtraindo coordenadas de A:
AB = B - A = (5-1,,1-1,,3-2) = (4,0,1),
AC = C - A = (-3-1,,9-1,,3-2) = (-4,8,1)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial ABtimes AC. Em coordenadas:
ABtimes AC = i & j & k 4 & 0 & 1 -4 & 8 & 1 = l(0cdot1 - 1cdot8,;- (4cdot1 - 1cdot(-4)),;4cdot8 - 0cdot(-4)r) = (-8,,-8,,32)

Passo 4

A norma desse vetor é
llVert (-8,-8,32)rrVert = raiz(-8)^2 + (-8)^2 + 32^2 = raiz64 + 64 + 1024 = raiz1152 = 24raiz2

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é metade dessa norma:
área = tfrac12 times 24raiz2 = 12raiz2 á

Resposta

A área do triângulo ABC é 12raiz2.

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