Determinar o valor de n para que seja de 30^circ o ângulo entre as retas
r1:ly=n x-1 z=2 x
e r2 : eixo O y

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de
e o eixo .
Conteúdo: cálculo de ângulo entre duas retas no espaço usando vetores-direção e a fórmula

Passo 2

Obtemos os vetores-direção das retas:
Para r1, tomando parâmetro t=x, temos
v1 = (1,;n,;2)
Para o eixo Oy, o vetor-direção é
v2 = (0,;1,;0)

Passo 3

Pela fórmula do ângulo entre retas:
cos 30^circ ;=;l|v1cdot v2r||v1|,|v2|
Aqui v1cdot v2 = 1cdot0 + ncdot1 + 2cdot0 = n,
|v1| = raiz1+n^2+4 = raizn^2+5,
|v2| = 1. E cos 30^circ = tfracraiz32.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
raiz32 = |n|raizn^2+5
Elevando ao quadrado:
34 = n^2n^2+5 Longrightarrow 3l(n^2+5r)=4n^2 Longrightarrow 3n^2 +15 = 4n^2 Longrightarrow n^2 =15

Passo 5

Como usamos valor absoluto, as soluções são
n = pm raiz15

Resposta

n = raiz15 ou n = -raiz15.

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