Determinar o valor dos seguintes limites (em todos os casos P=(x, y) \rightarrow P_{0}=(0,0) ), caso existam.
\lim _{P \rightarrow P_{0}} e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor do limite, quando P=(x,y) tende a P_{0}=(0,0), da função
e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}.
Informações dadas e o que é importante notar:
  • A variável ponto é P=(x,y) e o ponto de referência é P_{0}=(0,0).
  • A expressão envolve x^{2}+y^{2}, que é a distância ao quadrado ao ponto P_{0}.
  • O expoente é -\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}, que está bem definido para todo P\neq P_{0} (pois em P_{0} o denominador é zero).
  • A pergunta é se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é seu valor.

Passo 2

O que significa esse limite (definição intuitiva e formal rápida):
  • Intuitivamente queremos ver qual valor a função toma quando nos aproximamos de (0,0) por qualquer caminho no plano.
  • Formalmente: dizemos que
\lim_{P\to P_{0}} e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que \sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}<\delta (ou seja, 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta) então
\left|e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}-L\right|<\varepsilon.
Nosso objetivo é encontrar L (se existir) e justificar rigorosamente.

Passo 3

Observação simples e útil sobre sinais e limites triviais:
  • Para todo P\neq P_{0} temos x^{2}+y^{2}>0, logo -\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}<0.
  • Portanto, para P\neq P_{0},
0<e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}<1.
Isto já nos diz que quaisquer limites possíveis devem ser números entre 0 e 1. Em particular, o candidato natural para o limite quando P\to P_{0} é 0, porque o expoente tende a -\infty (intuitivamente); vamos agora fazer essa ideia ficar rigorosa.

Passo 4

Troca para coordenadas polares (uma técnica padrão e didática aqui):
  • Defina \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;. Note que r\ge 0 e r\to 0^{+} corresponde exatamente a P\to P_{0}.
  • A função passa a depender só de r, para r>0:
f(x,y)=e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}=e^{\frac{-1}{r^{2}}}.
Isso simplifica muito: agora é um limite de uma função unidimensional quando r\to 0^{+}.

Passo 5

Raciocínio via composição e comportamento do exponencial:
  • Quando r\to 0^{+} temos \dfrac{1}{r^{2}}\to +\infty. Portanto -\dfrac{1}{r^{2}}\to -\infty.
  • A função exponencial é contínua e sabemos que \lim_{t\to -\infty} e^{t}=0.
  • Fazendo a composição, se -\dfrac{1}{r^{2}}\to -\infty então
\lim_{r\to 0^{+}} e^{\frac{-1}{r^{2}}}=0.
  • Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, isso mostra que, independentemente do caminho pelo qual (x,y) se aproxima de (0,0), os valores da função tendem a 0. Portanto o limite existe e é 0.

Passo 6

Prova \varepsilon- \delta (para ficar totalmente rigoroso e você poder repetir isso na prova):
  • Queremos: para dado \varepsilon>0 achar \delta>0 tal que se 0<r<\delta então e^{-1/r^{2}}<\varepsilon.
  • Caso \varepsilon\ge 1: como 0<e^{-1/r^{2}}<1 para todo r>0, qualquer \delta>0 funciona; conclusão imediata.
  • Caso 0<\varepsilon<1: tome logs. A condição e^{-1/r^{2}}<\varepsilon é equivalente (pois \ln é crescente) a
-\frac{1}{r^{2}}<\ln\varepsilon.
Como \ln\varepsilon<0, multiplicando por -1 e invertendo desigualdade obtemos
\frac{1}{r^{2}}>- \ln\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad r^{2}<\frac{1}{- \ln\varepsilon}\quad\Longleftrightarrow\quad r<\frac{1}{\sqrt{-\ln\varepsilon}}.
  • Portanto, para este \varepsilon podemos escolher
\delta=\frac{1}{\sqrt{-\ln\varepsilon}}.
Assim, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta teremos e^{-1/(x^{2}+y^{2})}<\varepsilon. Isso fecha a prova \varepsilon- \delta de que o limite é 0.

Passo 7

Conclusão final e encorajamento:
  • Mostramos por polar/composição e ainda demos a prova \varepsilon- \delta que o limite existe e vale 0.
  • Resumindo a intuição: o denominador x^{2}+y^{2} vai para zero, fazendo o expoente ficar muito negativo, e o exponencial de um número muito negativo tende a zero. Dá para explicar isso em poucas palavras, mas nos passos anteriores deixei a justificativa rigorosa para você poder usar na prova. Vai dar certo — respira e confia no método.

Resposta

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