Determinar o valor dos seguintes limites (em todos os casos P=(x, y) \rightarrow P_{0}=(0,0) ), caso existam. \lim _{P \rightarrow P_{0}} e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor do limite, quando P=(x,y) tende a P_{0}=(0,0), da função
e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}.
Informações dadas e o que é importante notar:
A variável ponto é P=(x,y) e o ponto de referência é P_{0}=(0,0).
A expressão envolve x^{2}+y^{2}, que é a distância ao quadrado ao ponto P_{0}.
O expoente é -\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}, que está bem definido para todo P\neq P_{0} (pois em P_{0} o denominador é zero).
A pergunta é se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é seu valor.
Passo 2
O que significa esse limite (definição intuitiva e formal rápida):
Intuitivamente queremos ver qual valor a função toma quando nos aproximamos de (0,0) por qualquer caminho no plano.
Formalmente: dizemos que
\lim_{P\to P_{0}} e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que \sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}<\delta (ou seja, 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta) então
Nosso objetivo é encontrar L (se existir) e justificar rigorosamente.
Passo 3
Observação simples e útil sobre sinais e limites triviais:
Para todo P\neq P_{0} temos x^{2}+y^{2}>0, logo -\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}<0.
Portanto, para P\neq P_{0},
0<e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}<1.
Isto já nos diz que quaisquer limites possíveis devem ser números entre 0 e 1. Em particular, o candidato natural para o limite quando P\to P_{0} é 0, porque o expoente tende a -\infty (intuitivamente); vamos agora fazer essa ideia ficar rigorosa.
Passo 4
Troca para coordenadas polares (uma técnica padrão e didática aqui):
Defina \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;. Note que r\ge 0 e r\to 0^{+} corresponde exatamente a P\to P_{0}.
Isso simplifica muito: agora é um limite de uma função unidimensional quando r\to 0^{+}.
Passo 5
Raciocínio via composição e comportamento do exponencial:
Quando r\to 0^{+} temos \dfrac{1}{r^{2}}\to +\infty. Portanto -\dfrac{1}{r^{2}}\to -\infty.
A função exponencial é contínua e sabemos que \lim_{t\to -\infty} e^{t}=0.
Fazendo a composição, se -\dfrac{1}{r^{2}}\to -\infty então
\lim_{r\to 0^{+}} e^{\frac{-1}{r^{2}}}=0.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, isso mostra que, independentemente do caminho pelo qual (x,y) se aproxima de (0,0), os valores da função tendem a 0. Portanto o limite existe e é 0.
Passo 6
Prova \varepsilon-\delta (para ficar totalmente rigoroso e você poder repetir isso na prova):
Queremos: para dado \varepsilon>0 achar \delta>0 tal que se 0<r<\delta então e^{-1/r^{2}}<\varepsilon.
Caso \varepsilon\ge 1: como 0<e^{-1/r^{2}}<1 para todo r>0, qualquer \delta>0 funciona; conclusão imediata.
Caso 0<\varepsilon<1: tome logs. A condição e^{-1/r^{2}}<\varepsilon é equivalente (pois \ln é crescente) a
-\frac{1}{r^{2}}<\ln\varepsilon.
Como \ln\varepsilon<0, multiplicando por -1 e invertendo desigualdade obtemos
Assim, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta teremos e^{-1/(x^{2}+y^{2})}<\varepsilon. Isso fecha a prova \varepsilon-\delta de que o limite é 0.
Passo 7
Conclusão final e encorajamento:
Mostramos por polar/composição e ainda demos a prova \varepsilon-\delta que o limite existe e vale 0.
Resumindo a intuição: o denominador x^{2}+y^{2} vai para zero, fazendo o expoente ficar muito negativo, e o exponencial de um número muito negativo tende a zero. Dá para explicar isso em poucas palavras, mas nos passos anteriores deixei a justificativa rigorosa para você poder usar na prova. Vai dar certo — respira e confia no método.