Determinar o valor de a para que o sistema linear S admita uma única solução e determiná-la.
S:\left\{\begin{array}{r} x+y=1 \\ 2 x+y=2 \\ 3 y=a \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema sobredeterminado em duas incógnitas, com três equações:
\begin{cases} x+y=1,\\\\ 2x+y=2,\\\\ 3y=a. \end{cases}
O conteúdo aqui é consistência de sistema sobre­determinado: vamos usar eliminação nas duas primeiras equações e depois impor a terceira para obter o valor de a.

Passo 2

Para resolver as duas primeiras equações, subtraímos a primeira da segunda:
(2x+y)-(x+y)=2-1\implies x=1.
Substituindo em x+y=1, obtemos
y=1-x=0.

Passo 3

Para que o sistema completo seja consistente, a terceira equação 3y=a deve ser satisfeita por (x,y)=(1,0). Logo,
3\cdot 0 = a\implies a=0.

Passo 4

Concluímos que o sistema admite solução única exatamente quando a=0, caso em que (x,y)=(1,0).

Resposta

a=0 e a solução única é (x,y)=(1,0).

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