Resolver os sistemas abaixo.
\left{ \begin{array}{l}x+y+z+t=0 \\ x+y-2 z+t=0 \\ 2 x+y+2 z-t=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,t e três equações. O conteúdo é eliminação gaussiana e parametrização de sistemas subdetermindados. Vamos usar combinações lineares para reduzir o sistema, encontrar variáveis livres e expressar a solução geral.

Passo 2

Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x + y - 2z + t) - (x + y + z + t) = 0 - 0
resulta em
-3z = 0.
Logo,
z = 0.

Passo 3

Substituindo z=0 na primeira equação obtemos
x + y + t = 0,
ou seja,
t = -x - y.
A terceira equação fica
2x + y - t = 0.
Substituindo t=-x-y nessa equação dá
2x + y - (-x - y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 2y = 0.

Passo 4

Da equação
3x + 2y = 0
isolamos
y = -\tfrac{3}{2}x.
Portanto já temos
z = 0,\quad y = -\tfrac{3}{2}x,\quad t = -x - y.

Passo 5

Escolhendo x = \lambda como parâmetro livre, vem
y = -\tfrac{3}{2}\lambda, \quad z = 0, \quad t = -\lambda -\bigl(-\tfrac{3}{2}\lambda\bigr) = \tfrac{1}{2}\lambda.

Passo 6

Para simplificar, definimos \lambda = 2u. Assim
(x,y,z,t) = (2u,\,-3u,\,0,\,u), \quad u\in\mathbb{R}.

Resposta

O conjunto-solução é
\{(2u,\,-3u,\,0,\,u)\mid u\in\mathbb{R}\}.

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