5 a Questão(Valor 2.5)Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por T(x, y, z) (5 x-6 y-6 z,-x+4 y+2 z, 3 x-6 y-4 z) .
(1)Determine a matriz de T em relação à C ,base canonica de \mathbb{R}^{3} ;
(2)Faça o estudo completo(polinomio característico,autovalores,autoespaços,...)par determinar se T é diagonalizável,caso afirmativo encontre uma matriz M tal qu M^{-1}(T)_{C} M é diagonal.
Passo 1
O enunciado define o operador linear T: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
O estudo completo (polinômio característico, autovalores, autoespaços) para verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz M tal que
M^{-1}[T]_C\,M
seja diagonal.
O conteúdo envolve operações com matrizes, determinante para achar o polinômio característico e resolução de sistemas para os autoespaços.
Passo 2
Para formar a matriz de T na base canônica, calculamos as imagens dos vetores e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) e e_3=(0,0,1):
Como a soma das dimensões geométricas (1 + 2) é igual a 3 (dimensão de \mathbb{R}^3), o operador T é diagonalizável. Basta tomar como colunas de M uma base de autovetores ordenados segundo os autovalores. Por exemplo, defina