Resolver os sistemas homogêneos abaixo.
\left{ \begin{array}{l}3 x-y+2 z-t=0 \\ 3 x+y+3 z+t=0 \\ x-y-z-5 t=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
\begin{cases} 3x - y + 2z - t = 0,\\\\ 3x + y + 3z + t = 0,\\\ x - y - z - 5t = 0, \end{cases}
que é um caso de sistemas lineares em que vamos usar eliminação de Gauss e obter a solução em forma paramétrica.

Passo 2

Da terceira equação isolamos x:
x - y - z - 5t = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = y + z + 5t.

Passo 3

Substituímos x = y+z+5t nas duas primeiras equações:
na primeira,
3(y+z+5t) - y + 2z - t = 0 \;\Longrightarrow\; 2y + 5z + 14t = 0 \quad\text{(chame de Eq.4)},
na segunda,
3(y+z+5t) + y + 3z + t = 0 \;\Longrightarrow\; 4y + 6z + 16t = 0 \quad\text{(chame de Eq.5)}.

Passo 4

Eliminamos y entre Eq.4 e Eq.5. Dobremos Eq.4 e subtraiamos Eq.5:
\begin{aligned} 2\times(2y + 5z + 14t) &= 0\quad\Longrightarrow\quad 4y +10z +28t = 0,\\\ (4y +10z +28t) - (4y +6z +16t)&=0 \quad\Longrightarrow\quad 4z +12t = 0 \;\Longrightarrow\; z + 3t = 0 \;\Longrightarrow\; z = -3t. \end{aligned}

Passo 5

Com z=-3t, volte à Eq.4 para achar y:
2y + 5(-3t) +14t = 0 \;\Longrightarrow\; 2y -15t +14t = 0 \;\Longrightarrow\; 2y - t = 0 \;\Longrightarrow\; y = \tfrac12\,t.

Passo 6

Finalmente, calcule x por x=y+z+5t:
x = \tfrac12\,t + (-3t) +5t = \tfrac12\,t +2t = \tfrac52\,t.

Passo 7

O sistema tem uma incógnita livre t, então escrevemos a solução geral em forma paramétrica. Para evitar frações, definimos
t = 2\lambda,\quad \lambda\in\mathbb{R},
então
x = \tfrac52\,(2\lambda)=5\lambda,\quad y = \tfrac12\,(2\lambda)=\lambda,\quad z = -3\,(2\lambda)=-6\lambda,\quad t = 2\lambda.
Logo a solução geral é
(x,y,z,t) = \lambda\,(5,\,1,\,-6,\,2), \quad \lambda\in\mathbb{R}.

Resposta

(x,y,z,t) = \lambda\,(5,\,1,\,-6,\,2), \quad \lambda\in\mathbb{R}.

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