Exercício 2-7: Encontre os autovalores e os autovetores da matriz para o caso em que m1=m2=40 kg e k1=k2=k3=200 N / m e lambda I=-40 omega^2. Mostre sua resolução em detalhes
(a) [cc400 & -200 -200 & 400]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz dada. Isso faz parte da matéria de ** Álgebra Linear**, especificamente sobre Autovalores e Autovetores. Para resolver, vamos precisar usar a definição de autovalores e autovetores e saber como resolver determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Dada uma matriz A , um autovalor lambda e um autovetor v satisfazem a equação:
Av = lambda v
Isso significa que, quando a matriz A atua no vetor v , o resultado é apenas o vetor v multiplicado por um escalar lambda .

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz A :
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A , e det representa o determinante.

Passo 4

Vamos aplicar isso à matriz que temos:
A = 400 & -200 -200 & 400
Primeiro, subtraímos lambda vezes a identidade de A :
A - lambda I = 400 - lambda & -200 -200 & 400 - lambda

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (400 - lambda)(400 - lambda) - (-200)(-200)
Simplificando:
det(A - lambda I) = (400 - lambda)^2 - 200^2

Passo 6

Expandindo o quadrado:
(400 - lambda)^2 = 400^2 - 2 times 400 times lambda + lambda^2 = 160000 - 800lambda + lambda^2
Então:
det(A - lambda I) = 160000 - 800lambda + lambda^2 - 40000 = lambda^2 - 800lambda + 120000

Passo 7

A equação característica fica:
lambda^2 - 800lambda + 120000 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores lambda .

Passo 8

Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação lambda^2 - 800lambda + 120000 = 0 :
lambda = 800 pm raiz800^2 - 4 times 1 times 1200002
Calculando o discriminante:
800^2 - 4 times 1 times 120000 = 640000 - 480000 = 160000
Então:
lambda = 800 pm raiz1600002 = 800 pm 4002

Passo 9

Isso nos dá dois valores para lambda :
lambda1 = 800 + 4002 = 12002 = 600
lambda2 = 800 - 4002 = 4002 = 200
Portanto, os autovalores são lambda1 = 600 e lambda2 = 200 .

Passo 10

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada lambda , resolvemos (A - lambda I)v = 0 .
Vamos começar com lambda1 = 600 :
A - 600 I = 400 - 600 & -200 -200 & 400 - 600 = -200 & -200 -200 & -200
Então, temos o sistema:
-200v1 - 200v2 = 0
-200v1 - 200v2 = 0
Isso simplifica para:
v1 + v2 = 0 implies v1 = -v2
Podemos escolher v2 = 1 , então v1 = -1 . Portanto, um autovetor correspondente a lambda1 = 600 é:
v1 = -1 1

Passo 11

Agora, para lambda2 = 200 :
A - 200 I = 400 - 200 & -200 -200 & 400 - 200 = 200 & -200 -200 & 200
O sistema fica:
200v1 - 200v2 = 0
-200v1 + 200v2 = 0
Simplificando:
v1 - v2 = 0 implies v1 = v2
Escolhendo v2 = 1 , então v1 = 1 . Assim, um autovetor correspondente a lambda2 = 200 é:
v2 = 1 1

Resposta

Os autovalores da matriz são lambda1 = 600 e lambda2 = 200 , e os respectivos autovetores são v1 = -1 1 e v2 = 1 1 .

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