Exercício 2-7: Encontre os autovalores e os autovetores da matriz para o caso em que e e . Mostre sua resolução em detalhes
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz dada. Isso faz parte da matéria de ** Álgebra Linear**, especificamente sobre Autovalores e Autovetores. Para resolver, vamos precisar usar a definição de autovalores e autovetores e saber como resolver determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Dada uma matriz A , um autovalor lambda e um autovetor v satisfazem a equação:
Av = lambda v
Isso significa que, quando a matriz A atua no vetor v , o resultado é apenas o vetor v multiplicado por um escalar lambda .
Passo 3
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz A :
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A , e det representa o determinante.
Passo 4
Vamos aplicar isso à matriz que temos:
A = 400 & -200 -200 & 400
Primeiro, subtraímos lambda vezes a identidade de A :
A - lambda I = 400 - lambda & -200 -200 & 400 - lambda