Determine os polinômios característicos, os autovalores, os autovetores e a matriz diagonal correspondente de cada uma das matrizes, em relação a base canônica, dos operadores lineares dados por:
.
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear
e pede:
– o polinômio característico;
– os autovalores;
– os autovetores;
– a matriz diagonal correspondente, tudo em relação à base canônica.
– o polinômio característico;
– os autovalores;
– os autovetores;
– a matriz diagonal correspondente, tudo em relação à base canônica.
Passo 2
Em relação à base canônica
, a matriz de
é
porque
e
.
Passo 3
O polinômio característico
é dado por
Ao expandir:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, resolvemos
Pela fórmula de Bhaskara:
Logo os autovalores são
Passo 5
Para cada autovalor achamos o autovetor não-nulo resolvendo
.
– Para
,
a equação
dá
. Tomando
, um gerador é
– Para
,
a equação
dá
ou
. Tomando
, um gerador é
Passo 6
A matriz
cujas colunas são os autovetores
diagonaliza
:
Assim, na base canônica, a forma diagonal de
(e de
) é
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores:
,
.
Autovetores correspondentes:
Autovetores correspondentes:
Matriz diagonal correspondente (na base canônica):