Determine os polinômios característicos, os autovalores, os autovetores e a matriz diagonal correspondente de cada uma das matrizes, em relação a base canônica, dos operadores lineares dados por:
F: R^{2} \rightarrow R^{2}, \quad F(x, y)=(5 x+6 y, 3 x-2 y).

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear
F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad F(x,y) = (5x+6y,\;3x-2y)
e pede:
– o polinômio característico;
– os autovalores;
– os autovetores;
– a matriz diagonal correspondente, tudo em relação à base canônica.

Passo 2

Em relação à base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a matriz de F é
A = \begin{pmatrix} 5 & 6\\\\ 3 & -2 \end{pmatrix}
porque F(1,0)=(5,3) e F(0,1)=(6,-2).

Passo 3

O polinômio característico \chi(\lambda) é dado por
\chi(\lambda) = \det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} 5-\lambda & 6\\\\ 3 & -2-\lambda \end{pmatrix} = (5-\lambda)(-2-\lambda) - 6\cdot3.
Ao expandir:
(5-\lambda)(-2-\lambda) - 18 = -10 -5\lambda +2\lambda +\lambda^2 -18 = \lambda^2 -3\lambda -28.

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos
\chi(\lambda)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2 -3\lambda -28 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{3 \pm 11}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = \frac{3+11}{2}=7, \quad \lambda_2 = \frac{3-11}{2}=-4.

Passo 5

Para cada autovalor achamos o autovetor não-nulo resolvendo (A-\lambda I)v=0.
– Para \lambda_1 = 7,
A - 7I = \begin{pmatrix}-2 & 6\\\ 3 & -9\end{pmatrix},
a equação -2x + 6y = 0 x = 3y. Tomando y=1, um gerador é
v_1 = \begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}.
– Para \lambda_2 = -4,
A + 4I = \begin{pmatrix}9 & 6\\\ 3 & 2\end{pmatrix},
a equação 9x+6y=0 3x+2y=0 ou y=-\tfrac{3}{2}x. Tomando x=2, um gerador é
v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -3\end{pmatrix}.

Passo 6

A matriz P cujas colunas são os autovetores v_1,v_2 diagonaliza A:
P = \bigl[v_1\;\;v_2\bigr] = \begin{pmatrix}3 & 2\\\ 1 & -3\end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP = D = \begin{pmatrix}7 & 0\\\ 0 & -4\end{pmatrix}.
Assim, na base canônica, a forma diagonal de A (e de F) é
D = \begin{pmatrix}7 & 0\\[6pt]0 & -4\end{pmatrix}.]

Resposta

Polinômio característico:
\chi(\lambda) = \lambda^2 -3\lambda -28.
Autovalores: \lambda_1=7, \lambda_2=-4.
Autovetores correspondentes:
v_1 = \begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}\quad(\lambda=7), \quad v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -3\end{pmatrix}\quad(\lambda=-4).
Matriz diagonal correspondente (na base canônica):
D = \begin{pmatrix}7 & 0\\[4pt]0 & -4\end{pmatrix}.]

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