Determine a altura do tetraedro , onde e .

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices A(1,3,1), B(0,-2,4), C(2,1,-3) e D(0,-6,0) de um tetraedro e pede a altura relativa à base ABC. Em geometria no espaço, essa altura é a distância do ponto D ao plano que passa por A, B e C. Para calcular essa distância, usamos produto vetorial para achar um vetor normal ao plano e depois a fórmula
h = l|ncdot(D-A)r||n|

Passo 2

Calculemos primeiro os vetores do plano:
AB = B - A = (0-1,;-2-3,;4-1) = (-1,,-5,,3),
AC = C - A = (2-1,;1-3,;-3-1) = (1,,-2,,-4)
O vetor normal n = ABtimesAC tem componentes
nx = (-5)(-4) - 3(-2) = 20 + 6 = 26,
ny = -l[(-1)(-4) - 3cdot1r] = -l[4 -3r] = -1,
nz = (-1)(-2) - (-5)cdot1 = 2 + 5 = 7
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n = (26,,-1,,7)

Passo 3

A norma de n é
|n| = raiz26^2 + (-1)^2 + 7^2 = raiz676 + 1 + 49 = raiz726 = 11raiz6

Passo 4

Agora o vetor que vai de A a D é
D-A = (0-1,;-6-3,;0-1) = (-1,,-9,,-1)
O produto escalar é
ncdot(D-A) = 26cdot(-1) + (-1)cdot(-9) + 7cdot(-1) = -26 + 9 -7 = -24
Aplicando a fórmula da distância ponto-plano:
h = l|-24r|11raiz6 = 2411raiz6 = 24raiz611cdot6 = 4raiz611

Resposta

h = 4raiz611 uc

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