Determinar para que valores de a, b e c, o sistema abaixo tem solução.
l x-2 y+4 z=a 2 x+3 y-z=b 3 x+y+2 z=c

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x - 2y + 4z = a, 2x + 3y - z = b, 3x + y + 2z = c,
com matriz de coeficientes
A = 1 & -2 & 4 2 & 3 & -1 3 & 1 & 2
O conteúdo da matéria aqui é estudar o determinante (ou o posto) de A para saber quando o sistema admite solução.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A. Usando a expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet3 & -11 & 2 -(-2)cdotdet2 & -13 & 2 +4cdotdet2 & 33 & 1
Agora cada menor:
det3 & -11 & 2=3cdot2-(-1)cdot1=7, det2 & -13 & 2=2cdot2-(-1)cdot3=7,
det2 & 33 & 1=2cdot1-3cdot3=-7
Substituindo,
det(A)=1cdot7 +2cdot7 +4cdot(-7)=7+14-28=-7

Passo 3

Como det(A)=-7neq0, a matriz A é inversível. Logo o posto de A é 3 e coincide com o posto da matriz aumentada para qualquer (a,b,c). Isso garante que o sistema tem sempre uma única solução, independentemente de a, b e c.

Resposta

O sistema tem solução para todos os valores reais de a, b e c.

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