Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
y^2-4x^2=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
y^2-4x^2=1
e pede que a gente identifique a cônica, ache o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e faça um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é o estudo de hipérboles em sua forma canônica.

Passo 2

Para identificar a cônica e colocar em forma padrão, escrevemos
y^2-4x^2=1 ;Longrightarrow; y^21-x^2tfrac14=1
Isso mostra que é uma hipérbole com eixo transverse vertical (já que o termo positivo é y^2).

Passo 3

Na forma
y^2a^2-x^2b^2=1
temos a^2=1 e b^2=tfrac14, logo
a=1, b=tfrac12
O centro da hipérbole é o ponto (0,0) e os vértices ficam em
(0,pm a)=(0,pm1)

Passo 4

Para achar os focos, calculamos
c^2=a^2+b^2=1+tfrac14=tfrac54,
de onde
c=raiz52
Assim, os focos são
l(0,pm tfracraiz52r)

Passo 5

A excentricidade de uma hipérbole é
e=ca =tfracraiz521 =raiz52approx1,118

Passo 6

Para esboçar o gráfico, marcamos o centro (0,0), os vértices (0,pm1) e traçamos as assíntotas, que para esta forma são
y=pm ab,x =pm 1tfrac12,x =pm2x
Em seguida desenhamos os ramos da hipérbole que se abrem para cima e para baixo respeitando esses limites.

Resposta

Tipo de cônica: hipérbole vertical.
Centro: (0,0).
Vértices: (0,1) e (0,-1).
Focos: l(0,tfracraiz52r) e l(0,-tfracraiz52r).
Excentricidade: raiz52.
Assíntotas: y=2x e y=-2x.
Gráfico: hipérbole com ramos voltados para cima e para baixo, centrada na origem e tangente às assíntotas.

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