Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que a gente identifique a cônica, ache o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e faça um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é o estudo de hipérboles em sua forma canônica.
Passo 2
Para identificar a cônica e colocar em forma padrão, escrevemos
Isso mostra que é uma hipérbole com eixo transverse vertical (já que o termo positivo é
).
Passo 3
Na forma
temos
e
, logo
O centro da hipérbole é o ponto
e os vértices ficam em
Passo 4
Para achar os focos, calculamos
de onde
Assim, os focos são
Passo 5
A excentricidade de uma hipérbole é
Passo 6
Para esboçar o gráfico, marcamos o centro
, os vértices
e traçamos as assíntotas, que para esta forma são
Em seguida desenhamos os ramos da hipérbole que se abrem para cima e para baixo respeitando esses limites.
Resposta
Tipo de cônica: hipérbole vertical.
Centro: .
Vértices: e
.
Focos: e
.
Excentricidade: .
Assíntotas: e
.
Gráfico: hipérbole com ramos voltados para cima e para baixo, centrada na origem e tangente às assíntotas.
Centro:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas:
Gráfico: hipérbole com ramos voltados para cima e para baixo, centrada na origem e tangente às assíntotas.