Um espelho parabólico tem uma profundidade de 12 cm no centro e o diâmetro na face do espelho é de 32 cm. Ache a distância do vértice ao foco.

Passo 1

O enunciado descreve um espelho parabólico cuja seção transversal é uma parábola com vértice no centro. Sabemos que o diâmetro na face do espelho é 32,cm, logo o raio é 16,cm, e que a profundidade (altura da parábola) nesse raio é 12,cm. Queremos achar a distância do vértice ao foco, ou seja, o parâmetro focal f da parábola.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com o vértice da parábola na origem e eixo y apontando para dentro do espelho. A equação padrão de uma parábola com foco em (0,f) é
y = x^24f
Nesse modelo, o ponto da borda do espelho corresponde a x=16 e y=12.

Passo 3

Substituindo x=16 e y=12 em y=x^24f, obtemos
12 = 16^24f
Isso dá
12 = 2564f Longrightarrow 12 = 64f Longrightarrow f = 6412 = 163,cm

Resposta

A distância do vértice ao foco é 163,cm (aproximadamente 5,33,cm).

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