Dê a equação geral da circunferência determinada pelos pontos (1,1), (4,-2) e (1,-5).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral da circunferência que passa pelos pontos (1,1), (4,-2) e (1,-5).
O conteúdo aqui é a forma geral da equação de uma circunferência no plano, que é
x^2 + y^2 + D,x + E,y + F = 0,
onde D, E e F são constantes a determinar. Para isso, basta substituir os três pontos nessa equação e resolver o sistema linear resultante.

Passo 2

Substituindo cada ponto em
x^2 + y^2 + D,x + E,y + F = 0
temos:
para (1,1):
1^2 + 1^2 + Dcdot1 + Ecdot1 + F = 0 Longrightarrow D + E + F = -2;
para (4,-2):
4^2 + (-2)^2 + Dcdot4 + Ecdot(-2) + F = 0 Longrightarrow 4D - 2E + F = -20;
para (1,-5):
1^2 + (-5)^2 + Dcdot1 + Ecdot(-5) + F = 0 Longrightarrow D - 5E + F = -26

Passo 3

Temos o sistema
D + E + F = -2, 4D - 2E + F = -20, D - 5E + F = -26
Eliminamos F subtraindo a primeira equação das outras duas:
,(4D - 2E + F) - (D + E + F) = -20 - (-2)\quad Longrightarrow\quad
3D - 3E = -18 Longrightarrow D - E = -6;
,(D - 5E + F) - (D + E + F) = -26 - (-2)\quad Longrightarrow\quad
-6E = -24 Longrightarrow E = 4
Substituindo E=4 em D - E = -6
D - 4 = -6 Longrightarrow D = -2

Passo 4

Finalmente, usamos D+E+F=-2 para achar F:
-2 + 4 + F = -2 Longrightarrow F = -4

Resposta

A equação geral da circunferência é
boxedx^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0

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