Beleza, vamos resolver esse sistema de equações A X = B usando o método de Cramer. Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma matriz A e queremos encontrar o vetor X que, quando multiplicado por A , resulta no vetor B . Para isso, vamos usar o método de Cramer, que envolve calcular determinantes de matrizes. Vamos precisar saber como calcular determinantes e aplicar a regra de Cramer passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o método de Cramer funciona quando a matriz dos coeficientes A tem um determinante diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de A , que é det(A) .
A matriz A é:
A = 1 & 0 & 2 -3 & 1 & 3 0 & 0 & 4
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Calculando det(A) :
det(A) = 1 times 1 times 4 + 0 times 3 times 0 + 2 times (-3) times 0 - 2 times 1 times 0 - 0 times (-3) times 4 - 1 times 3 times 0
Simplificando:
det(A) = 4 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 4
Como det(A) = 4 neq 0 , podemos usar o método de Cramer.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como o método de Cramer funciona. Para encontrar cada variável x, y, z , substituímos a coluna correspondente na matriz A pelo vetor B e calculamos o determinante da nova matriz. A fórmula geral é:
x = det(Ax)det(A), y = det(Ay)det(A), z = det(Az)det(A)
Onde Ax é a matriz A com a primeira coluna substituída por B , Ay com a segunda coluna substituída por B , e Az com a terceira coluna substituída por B .
Passo 4
Vamos calcular det(Ax) . Substituímos a primeira coluna de A por B :
Ax = 5 & 0 & 2 3 & 1 & 3 7 & 0 & 4
Calculando det(Ax) usando a regra de Sarrus:
det(Ax) = 5 times 1 times 4 + 0 times 3 times 7 + 2 times 3 times 0 - 2 times 1 times 7 - 0 times 3 times 4 - 5 times 3 times 0
Simplificando:
det(Ax) = 20 + 0 + 0 - 14 - 0 - 0 = 6
Passo 5
Agora, vamos calcular det(Ay) . Substituímos a segunda coluna de A por B :
Ay = 1 & 5 & 2 -3 & 3 & 3 0 & 7 & 4
Calculando det(Ay) :
det(Ay) = 1 times 3 times 4 + 5 times 3 times 0 + 2 times (-3) times 7 - 2 times 3 times 0 - 5 times (-3) times 4 - 1 times 3 times 7
Simplificando:
det(Ay) = 12 + 0 - 42 - 0 + 60 - 21 = 9
Passo 6
Por fim, vamos calcular det(Az) . Substituímos a terceira coluna de A por B :
Az = 1 & 0 & 5 -3 & 1 & 3 0 & 0 & 7
Calculando det(Az) :
det(Az) = 1 times 1 times 7 + 0 times 3 times 0 + 5 times (-3) times 0 - 5 times 1 times 0 - 0 times (-3) times 7 - 1 times 3 times 0
Simplificando:
det(Az) = 7 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 7
Passo 7
Agora que temos todos os determinantes necessários, podemos encontrar as variáveis x, y, z usando as fórmulas do método de Cramer:
x = det(Ax)det(A) = 64 = 1.5
y = det(Ay)det(A) = 94 = 2.25
z = det(Az)det(A) = 74 = 1.75
Resposta
A solução do sistema é x = 1.5 , y = 2.25 e z = 1.75 .