Determinar valores máximos e mínimos e os pontos de máximos e mínimos de f(x, y)=8 x+8 y+6 z, sujeito à restrição x^2+y^2+z^2=41, utilizando a função Lagrangeana e os multiplicadores de Lagrange (mostrar seus cálculos completos - questão feita com método diferente do indicado será considerada errada):

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y,z)=8x+8y+6z
sob a restrição
x^2+y^2+z^2=41
O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange, em que vamos montar a função Lagrangeana e igualar suas derivadas parciais a zero.

Passo 2

Definimos a Lagrangeana
L(x,y,z,lambda)=8x+8y+6z-lambdal(x^2+y^2+z^2-41r)
As condições de extremum exigem
partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, partialLpartial z=0, partialLpartial lambda=0

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partialLpartial x=8-2lambda x=0 Longrightarrow x=4lambda,
partialLpartial y=8-2lambda y=0 Longrightarrow y=4lambda,
partialLpartial z=6-2lambda z=0 Longrightarrow z=3lambda,
partialLpartial lambda=-(x^2+y^2+z^2-41)=0 Longrightarrow x^2+y^2+z^2=41

Passo 4

Substituindo x, y e z na restrição:
l(tfrac4lambdar)^2+l(tfrac4lambdar)^2+l(tfrac3lambdar)^2 =16+16+9lambda^2 =41lambda^2 =41 Longrightarrow lambda^2=1
Logo lambda=1 ou lambda=-1.
Para lambda=1 temos
(x,y,z)=(4,4,3),
e para lambda=-1 temos
(x,y,z)=(-4,-4,-3)

Passo 5

Calculamos f em cada ponto:
f(4,4,3)=8cdot4+8cdot4+6cdot3=32+32+18=82,
f(-4,-4,-3)=8cdot(-4)+8cdot(-4)+6cdot(-3)=-32-32-18=-82
Como 82>-82, o ponto (4,4,3) é máximo e (-4,-4,-3) é mínimo.

Resposta

Máximo de f vale 82 em (4,4,3).
Mínimo de f vale -82 em (-4,-4,-3).

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