(7) Sejam f(x)=-x^2+5 x e g(x)=x.
(1) Determine as abscissas (coordenadas x ) dos pontos de intersecção dos gráficos.
a) (2) No mesmo plano cartesiano, esboce seus gráficos.
c) (4) Calcule a área da região delimitada pelos dois gráficos.

Passo 1

O enunciado define as funções f(x)=-x^2+5x e g(x)=x. Pede ( 1) as abscissas dos pontos de interseção dos gráficos, (a) o esboço dessas curvas no mesmo plano e (c) a área da região limitada entre elas. Para resolver isso vamos:
1. Igualar f(x) e g(x) para achar os x de interseção.
2. Desenhar a parábola de f e a reta de g, indicando interseções.
3. Calcular a área via integral da diferença f(x)-g(x) no intervalo entre as abscissas de interseção.

Passo 2

Encontramos as abscissas de interseção resolvendo
-x^2 + 5x = x
que leva a
-x^2 +4x = 0 Longrightarrow x(-x+4)=0
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x=0 ou x=4

Passo 3

Para esboçar:
— A parábola y=-x^2+5x abre para baixo, tem raízes em x=0 e x=5 e vértice em
l(tfrac52,,tfrac254r)
— A reta y=x é bissetriz.
As interseções ocorrem em (0,0) e (4,4). Basta traçar a parábola passando por esses pontos e a reta de 45circ cruzando-os.

Passo 4

A área da região entre as curvas de x=0 a x=4 é
integral0^4l(f(x)-g(x)r),dx =integral0^4l(-x^2+5x - xr),dx =integral0^4l(-x^2+4xr),dx
Calculando,
[-x^33 + 2x^2]0^4 = l(-tfrac643 + 32r) - 0 = 323

Resposta

( 1) As abscissas de interseção são x=0 e x=4.
(a) O esboço mostra a parábola y=-x^2+5x e a reta y=x cruzando-se em (0,0) e (4,4).
(c) A área da região delimitada é 323.

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