Determinar os valores próprios e os vetores próprios das transformações lineares dadas em cada um deles.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores próprios e os vetores próprios de uma transformação linear específica. A transformação é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores). Essencialmente, estamos procurando por escalar e vetores não nulos que satisfaçam a equação:
Onde é a matriz da transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que representa a transformação linear . Observando a transformação:
Podemos notar que a primeira componente é e a segunda é . Então, a matriz será:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores próprios lambda. Para isso, usamos a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e det representa o determinante.