Determinar os valores próprios e os vetores próprios das transformações lineares dadas em cada um deles.
f: ackslash mathbbR^2 ightarrow ackslash mathbbR^2, f( extx, exty)=( extx+2 exty,- extx+4 exty)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores próprios e os vetores próprios de uma transformação linear específica. A transformação é dada por:
f: R^2 R^2, f(x, y) = (x + 2y, -x + 4y)
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores). Essencialmente, estamos procurando por escalar lambda e vetores não nulos (vx, vy) que satisfaçam a equação:
A cdot v = lambda v
Onde A é a matriz da transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A que representa a transformação linear f. Observando a transformação:
f(x, y) = (x + 2y, -x + 4y)
Podemos notar que a primeira componente é x + 2y e a segunda é -x + 4y. Então, a matriz A será:
A = 1 & 2 -1 & 4

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores próprios lambda. Para isso, usamos a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e det representa o determinante.
Vamos calcular A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & 2 -1 & 4 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(2)
= (1 - lambda)(4 - lambda) + 2
= (1 cdot 4) - (1 cdot lambda) - (lambda cdot 4) + lambda^2 + 2
= 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 + 2
= lambda^2 - 5lambda + 6
Então, a equação característica é:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática lambda^2 - 5lambda + 6 = 0 para encontrar os valores de lambda.
Podemos fatorar a equação:
lambda^2 - 5lambda + 6 = (lambda - 2)(lambda - 3) = 0
Então, as soluções são:
lambda1 = 2
lambda2 = 3
Esses são os valores próprios da matriz A.

Passo 5

Agora que temos os valores próprios, vamos encontrar os respectivos vetores próprios para cada [\lambda).
Começando com , precisamos resolver:
Calculando :
Isso nos dá o sistema de equações:
As duas equações são iguais, então basta resolver uma delas:
Podemos escolher (v_y = 1] (já que o vetor próprio não pode ser o vetor nulo), então:
Portanto, um vetor próprio correspondente a é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor próprio correspondente a [\lambda_2 = 3).
Resolvemos:
Calculando :
Isso nos dá o sistema de equações:
Novamente, as equações são proporcionais, então basta resolver uma delas:
Podemos escolher (v_x = 1], então:
Portanto, um vetor próprio correspondente a é:

Resposta

Os valores próprios da transformação linear são lambda1 = 2 e lambda2 = 3. Os vetores próprios correspondentes são:
v1 = 2 1 para lambda1 = 2
v2 = 1 1 para lambda2 = 3

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