Determinar os valores próprios e os vetores próprios das transformações lineares dadas em cada um deles.
f: ackslash mathbbR^2 ightarrow ackslash mathbbR^2, f( extx, exty)=(2 extx+2 exty, extx+3 exty)

Passo 1

O enunciado pede os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da transformação linear
fcolon R^2 to R^2, f(x,y) = (2x+2y,;x+3y)
O conteúdo é cálculo de autovalores e autovetores de uma matriz 2times2. Vamos:
1. Escrever a matriz que representa f.
2. Determinar o polinômio característico det(A - lambda I).
3. Encontrar as raízes lambda (autovalores).
4. Para cada lambda, resolver (A - lambda I)v=0 e achar os autovetores.

Passo 2

A matriz de f no base canônica é
A = 2 & 2 [6pt] 1 & 3
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det2-lambda & 2 [3pt] 1 & 3-lambda = (2-lambda)(3-lambda) - 2cdot1 = lambda^2 -5lambda +4
Resolvendo lambda^2 -5lambda +4=0 obtemos
lambda =1 ou lambda =4 ]

Passo 3

Para resolvemos
Isso dá o sistema
ou seja . Tomando como parâmetro, temos o vetor próprio
.
]

Passo 4

Para resolvemos
Isso dá
Tomando , obtemos o vetor próprio
.
]

Resposta

Os autovalores e autovetores de f são:
lambda1 = 1 com vetor próprio v1 = (2,-1),
lambda2 = 4 com vetor próprio v2 = (1,1).

Exercícios relacionados