Determinar os valores próprios e os vetores próprios das transformações lineares dadas em cada um deles.
Passo 1
O enunciado pede os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da transformação linear
O conteúdo é cálculo de autovalores e autovetores de uma matriz
. Vamos:
. Escrever a matriz que representa
.
. Determinar o polinômio característico
.
. Encontrar as raízes
(autovalores).
. Para cada
, resolver
e achar os autovetores.
Passo 2
A matriz de
no base canônica é
O polinômio característico é
Resolvendo
obtemos
Passo 3
Para
resolvemos
Isso dá o sistema
ou seja
. Tomando
como parâmetro, temos o vetor próprio
.
]
]
Passo 4
Para
resolvemos
Isso dá
Tomando
, obtemos o vetor próprio
.
]
]
Resposta
Os autovalores e autovetores de
são:
com vetor próprio
,
com vetor próprio
.