Determinar os valores próprios e os vetores próprios das transformações lineares dadas em cada um deles.
f: ackslash mathbbR^2 ightarrow ackslash mathbbR^2, f( extx, exty)=(5 extx- exty, extx+3 exty)

Passo 1

Temos a transformação linear
f:R^2toR^2 dada por
f(x,y)=(5x - y,;x + 3y).
Queremos determinar os autovalores (valores próprios) e os autovetores (vetores próprios) de f. Para isso, vamos:
1. Escrever a matriz associada A em relação à base canônica.
2. Calcular o polinômio característico det(A-lambda I).
3. Encontrar as raízes lambda.
4. Resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

A matriz de f na base canônica é
A = 5 & -1[6pt] 1 & 3 ]

Passo 3

O polinômio característico é dado por
det(A-lambda I) =det! 5-lambda & -1[3pt] 1 & 3-lambda =(5-lambda)(3-lambda)-(-1)cdot1 =lambda^2-8lambda+16 ]

Passo 4

Resolvendo
lambda^2-8lambda+16=0
vemos que
(lambda-4)^2=0,
logo o único autovalor é lambda=4 (com multiplicidade algébrica 2).

Passo 5

Para encontrar os autovetores, resolvemos
(A-4I)v=0 Longrightarrow 1 & -1[3pt] 1 & -1 x[3pt]y = 0[3pt]0
Isso dá a equação x - y = 0, ou seja, x = y. Portanto os autovetores são todos os múltiplos de (1,1).]

Resposta

O único autovalor é lambda=4 (multiplicidade 2) e o espaço próprio associado é
,t(1,1)mid tinR,
isto é, todos os vetores proporcionais a (1,1).

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