Determine o ângulo entre vetor u=(2,-2 raiz3, 0) e o vetor imath.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de vetores! A questão pede para a gente encontrar o ângulo entre o vetor u = (2, -2raiz3, 0) e o vetor imath, que é o vetor unitário na direção do eixo x. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto interno (ou produto escalar) e a magnitude dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto interno entre dois vetores. O produto interno de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é calculado assim:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Esse produto nos ajuda a encontrar o ângulo entre os vetores usando a seguinte fórmula:
cos(theta) = a cdot b|a|,|b|
Onde |a| e |b| são as magnitudes dos vetores a e b, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o produto interno entre u = (2, -2raiz3, 0) e imath = (1, 0, 0):
u cdot imath = 2 times 1 + (-2raiz3) times 0 + 0 times 0 = 2 + 0 + 0 = 2

Passo 4

Agora, precisamos calcular a magnitude do vetor u. A magnitude de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Aplicando isso para u:
|u| = raiz2^2 + (-2raiz3)^2 + 0^2 = raiz4 + 12 + 0 = raiz16 = 4

Passo 5

Sabemos que o vetor imath é um vetor unitário, ou seja, sua magnitude é 1:
|imath| = 1

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = u cdot imath|u|,|imath| = 24 times 1 = 24 = 0,5

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, vamos calcular o arco cosseno de 0,5:
theta = arccos(0,5)
Sabemos que arccos(0,5) = 60^circ.

Resposta

O ângulo entre o vetor u e o vetor imath é de 60^circ.

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