Determinar os valores de a e b que tornam o sistema
3 x 7 y & =a x+y & =b 5 x+3 y & =5 a+2 b x+2 y & =a+b-1
compatível e determinado. Em seguida resolver o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os valores de a e b que fazem com que o sistema de equações dado seja compatível e determinado, ou seja, que tenha uma única solução. Depois, a gente vai resolver o sistema com esses valores. Vamos precisar usar conhecimentos de sistemas lineares e métodos de resolução como substituição ou eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever direitinho o sistema de equações:
3x + 7y &= a (Equação 1) x + y &= b (Equação 2) 5x + 3y &= 5a + 2b (Equação 3) x + 2y &= a + b - 1 (Equação 4) çãçãçãçã
Queremos que esse sistema tenha uma única solução, o que significa que todas as equações precisam ser consistentes entre si e não redundantes.

Passo 3

Vamos começar expressando x em função de y a partir da Equação 2:
x = b - y
Isso vai nos ajudar a substituir x nas outras equações e simplificar o sistema.

Passo 4

Substituindo x = b - y na Equação 1:
3(b - y) + 7y = a 3b - 3y + 7y = a 3b + 4y = a
Agora temos uma relação entre a , b e y :
a = 3b + 4y (Equação 1a) çã

Passo 5

Vamos substituir x = b - y na Equação 3:
5(b - y) + 3y = 5a + 2b 5b - 5y + 3y = 5a + 2b 5b - 2y = 5a + 2b
Vamos isolar os termos:
5b - 2b - 2y = 5a 3b - 2y = 5a (Equação 3a) çã

Passo 6

Agora, substituímos a = 3b + 4y da Equação 1a na Equação 3a:
3b - 2y = 5(3b + 4y) 3b - 2y = 15b + 20y
Vamos trazer todos os termos para um lado:
3b - 15b - 2y - 20y = 0 -12b - 22y = 0
Podemos simplificar dividindo por -2:
6b + 11y = 0 (Equação 5) çã

Passo 7

Agora, vamos substituir x = b - y na Equação 4:
(b - y) + 2y = a + b - 1 b - y + 2y = a + b - 1 b + y = a + b - 1
Simplificando:
y = a - 1 (Equação 4a) çã

Passo 8

Usando a Equação 4a ( y = a - 1 ) e a Equação 1a ( a = 3b + 4y ), vamos substituir y :
a = 3b + 4(a - 1) a = 3b + 4a - 4
Vamos isolar a :
a - 4a = 3b - 4 -3a = 3b - 4
Dividindo por -3:
a = -b + 43

Passo 9

Agora, substituímos a = -b + 43 na Equação 5 ( 6b + 11y = 0 ) e também lembrando que y = a - 1 :
y = (-b + 43) - 1 = -b + 13
Substituindo y na Equação 5:
6b + 11(-b + 13) = 0 6b - 11b + 113 = 0 -5b + 113 = 0
Resolvendo para b :
-5b = -113 b = 1115

Passo 10

Agora que temos b = 1115 , vamos encontrar a usando a = -b + 43 :
a = -1115 + 43 = -1115 + 2015 = 915 = 35

Passo 11

Com os valores de a e b determinados, vamos resolver o sistema original. Sabemos que:
x = b - y e y = a - 1
Substituindo a = 35 :
y = 35 - 1 = -25
Então,
x = 1115 - (-25) = 1115 + 615 = 1715

Resposta

Os valores que tornam o sistema compatível e determinado são a = 35 e b = 1115 . A solução do sistema é x = 1715 e y = -25 .

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