O que é um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado pergunta “O que é um espaço vetorial?”. Esse é um conceito de Álgebra Linear em que precisamos entender objetos (vetores) agrupados num conjunto V sobre um corpo (ou campo) K com duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares. Para resolver, vamos lembrar a definição formal e os axiomas que caracterizam essa estrutura.

Passo 2

Um espaço vetorial sobre um corpo K é um conjunto V equipado com:
+ : V times V to V
cdot : K times V to V
de modo que, para quaisquer u,v,w in V e quaisquer alpha,beta in K, valem os seguintes axiomas:
1. (Fechamento em adição)
u + v in V
2. (Comutatividade)
u + v = v + u
3. (Associatividade da adição)
(u + v) + w = u + (v + w)
4. (Elemento neutro)
Existe 0V in V tal que
u + 0V = u
5. (Inverso aditivo)
Para cada uin V existe -uin V com
u + (-u) = 0V
6. (Fechamento em multiplicação por escalar)
alpha cdot u in V
7. (Compatibilidade com soma de escalares)
(alpha + beta)cdot u = alphacdot u + betacdot u
8. (Compatibilidade com soma de vetores)
alphacdot(u + v) = alphacdot u + alphacdot v
9. (Associatividade escalar)
alphacdot(betacdot u) = (alphabeta)cdot u
10. (Elemento neutro escalar)
1Kcdot u = u

Passo 3

A partir desses axiomas, concluímos que em um espaço vetorial podemos somar vetores, multiplicá-los por escalares de K e ainda ter propriedades familiares de operações algébricas (como distributividade e existência de neutros e inversos). Exemplos clássicos são R^n sobre R, polinômios de grau limitado sobre R ou espaços de funções sobre R.

Resposta

Um espaço vetorial sobre um corpo K é um conjunto V munido de uma adição interna e de uma multiplicação por escalares em K, obedecendo dez axiomas: fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso para a adição; fechamento, distributividades, associatividade escalar e elemento neutro para a multiplicação por escalares.

Exercícios relacionados