O que é um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado pergunta “O que é um espaço vetorial?”. Esse é um conceito de Álgebra Linear em que precisamos entender objetos (vetores) agrupados num conjunto
sobre um corpo (ou campo)
com duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares. Para resolver, vamos lembrar a definição formal e os axiomas que caracterizam essa estrutura.
Passo 2
Um espaço vetorial sobre um corpo
é um conjunto
equipado com:
de modo que, para quaisquer
e quaisquer
, valem os seguintes axiomas:
1. (Fechamento em adição)
2. (Comutatividade)
3. (Associatividade da adição)
4. (Elemento neutro)
Existe tal que
Existe
5. (Inverso aditivo)
Para cada existe
com
Para cada
6. (Fechamento em multiplicação por escalar)
7. (Compatibilidade com soma de escalares)
8. (Compatibilidade com soma de vetores)
9. (Associatividade escalar)
10. (Elemento neutro escalar)
Passo 3
A partir desses axiomas, concluímos que em um espaço vetorial podemos somar vetores, multiplicá-los por escalares de
e ainda ter propriedades familiares de operações algébricas (como distributividade e existência de neutros e inversos). Exemplos clássicos são
sobre
, polinômios de grau limitado sobre
ou espaços de funções sobre
.
Resposta
Um espaço vetorial sobre um corpo
é um conjunto
munido de uma adição interna e de uma multiplicação por escalares em
, obedecendo dez axiomas: fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e inverso para a adição; fechamento, distributividades, associatividade escalar e elemento neutro para a multiplicação por escalares.