Uma relação
em um conjunto não-vazio
é uma relação de equivalência se Ré Reflexiva (para todo
se é Simétrica (se aRb, então bRa); e se é Transitiva (se aRb e bRa, então aRc).
Classifique as relações abaixo em
, em
- Reflexiva,
- Simétrica ou
- Transitiva.
Classifique as relações abaixo em
Passo 1
O enunciado pede para, dadas as relações
em
, identificar para cada uma quais das propriedades de relação de equivalência ela satisfaz: reflexiva, simétrica ou transitiva.
Passo 2
Recordando as definições para uma relação
em
:
- Reflexiva: para todo
, . - Simétrica: se
então . - Transitiva: se
e então .
Passo 3
Análise de
:
- Reflexiva? Faltam
, então não é reflexiva. - Simétrica? Para cada par
há e para há , logo é simétrica. - Transitiva? Temos
e mas , logo não é transitiva.
Passo 4
Análise de
:
- Reflexiva? Faltam todos os
, não é reflexiva. - Simétrica? Por exemplo
mas , não é simétrica. - Transitiva? A única composição não trivial é
e , que gera e este está em . Não há outras falhas, logo é transitiva.
Passo 5
Análise de
:
- Reflexiva? Contém
, logo é reflexiva. - Simétrica?
mas , não é simétrica. - Transitiva? As únicas composições possíveis mantêm-se em
(por exemplo e geram , etc.), não aparece contradição, logo é transitiva.
Passo 6
Análise de
:
- Reflexiva? Faltam
e , não é reflexiva. - Simétrica? Para cada
há e é auto-par, logo é simétrica. - Transitiva?
e compõem para , que não está em , então não é transitiva.