Uma relação R em um conjunto não-vazio S é uma relação de equivalência se Ré Reflexiva (para todo a in S, a R a) ; se é Simétrica (se aRb, então bRa); e se é Transitiva (se aRb e bRa, então aRc).
Classifique as relações abaixo em A=1,2,3, em R - Reflexiva, S - Simétrica ou T - Transitiva.
() R1=(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)
() R3=(1,1),(2,1),(2,2),(3,3)
() R2=(1,2),(2,3),(1,3)
() R4=(1,2),(2,1),(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para, dadas as relações
R1,R2,R3,R4 em A=1,2,3, identificar para cada uma quais das propriedades de relação de equivalência ela satisfaz: reflexiva, simétrica ou transitiva.

Passo 2

Recordando as definições para uma relação R em A:
  1. Reflexiva: para todo ain A, (a,a)in R.
  2. Simétrica: se (a,b)in R então (b,a)in R.
  3. Transitiva: se (a,b)in R e (b,c)in R então (a,c)in R.

Passo 3

Análise de R1 = (1,2),(2,1),(2,3),(3,2):
  • Reflexiva? Faltam (1,1),(2,2),(3,3), então não é reflexiva.
  • Simétrica? Para cada par (1,2) (2,1) e para (2,3) (3,2), logo é simétrica.
  • Transitiva? Temos (1,2) e (2,3) mas (1,3)notin R1, logo não é transitiva.

Passo 4

Análise de R2 = (1,2),(2,3),(1,3):
  • Reflexiva? Faltam todos os (a,a), não é reflexiva.
  • Simétrica? Por exemplo (1,2)in R2 mas (2,1)notin R2, não é simétrica.
  • Transitiva? A única composição não trivial é (1,2) e (2,3), que gera (1,3) e este está em R2. Não há outras falhas, logo é transitiva.

Passo 5

Análise de R3 = (1,1),(2,1),(2,2),(3,3):
  • Reflexiva? Contém (1,1),(2,2),(3,3), logo é reflexiva.
  • Simétrica? (2,1)in R3 mas (1,2)notin R3, não é simétrica.
  • Transitiva? As únicas composições possíveis mantêm-se em R3 (por exemplo (2,1) e (1,1) geram (2,1), etc.), não aparece contradição, logo é transitiva.

Passo 6

Análise de R4 = (1,2),(2,1),(1,1):
  • Reflexiva? Faltam (2,2) e (3,3), não é reflexiva.
  • Simétrica? Para cada (1,2) (2,1) e (1,1) é auto-par, logo é simétrica.
  • Transitiva? (2,1) e (1,2) compõem para (2,2), que não está em R4, então não é transitiva.

Resposta

R1: S
R2: T
R3: R, T
R4: S

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