(a) Use a fórmula de redução no exercício 3 para mostrar que
onde é um inteiro.
(b) Use a parte (a) para calcular

Passo 1

Neste exercício, vamos usar integração por partes para mostrar a fórmula de redução
integral0^pi2 sin^nx,dx ;=;n-1nintegral0^pi2 sin^n-2x,dx
para todo inteiro n>=2, e depois aplicar essa relação para calcular
integral0^pi2 sin^3x,dx e
integral0^pi2 sin^5x,dx.

Passo 2

Defina
In=integral0^pi2 sin^nx,dx
Fazendo integração por partes com
u=sin^n-1x e dv=sin x,dx, obtemos
du=(n-1)sin^n-2xcos x,dx, v=-cos x
Logo,
In =l[u,vr]0^pi2 -integral0^pi2v,du =;0;+;(n-1)integral0^pi2sin^n-2xcos^2x,dx
Como cos^2x=1-sin^2x, temos
In =(n-1)integral0^pi2sin^n-2x,dx -(n-1)integral0^pi2sin^nx,dx =(n-1)In-2-(n-1)In
Reorganizando dá
n,In=(n-1),In-2 Longrightarrow In=n-1n,In-2

Passo 3

Para n=3,
I3=3-13,I1=23,I1,
e
I1=integral0^pi2sin x,dx =l[-cos xr]0^pi2 =1
Portanto
integral0^pi2sin^3x,dx=I3=23

Passo 4

Para n=5,
I5=5-15,I3=45times23=815

Resposta

(a) integral0^pi2sin^nx,dx=n-1nintegral0^pi2sin^n-2x,dx
(b) integral0^pi2sin^3x,dx=23 e integral0^pi2sin^5x,dx=815

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