Determinar as velocidades de elutriação para separar pó de diamante nas faixas: 0-1 \mu \mathrm{~m} e 23 \mu \mathrm{m}. A massa específica do diamante é 3,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a esfericidade das partículas 0,7 . O fluido de arraste é a água a 20^{\circ} \mathrm{C} . \rho_{\mathrm{F}}=0,9979 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \mu_{\mathrm{F}}=1,0096 \times 10^{-2} \mathrm{~g} / \mathrm{cm} . \mathrm{s}. Qual a influência do diâmetro da partícula na velocidade terminal?

Passo 1

O enunciado pede para determinar as velocidades de elutriação, ou seja, as velocidades de escoamento ascendente da água que igualam a velocidade terminal de queda das partículas de diamante. Vamos tratar cada faixa de diâmetro 0 1\,\mu\mathrm{m} e 23\,\mu\mathrm{m} assumindo regime de Stokes (Re \ll 1) e levando em conta a esfericidade \psi=0,7. Precisamos de \rho_{p}=3,5\,\mathrm{g/cm^{3}}, \rho_{f}=0,9979\,\mathrm{g/cm^{3}}, \mu=1,0096\times10^{-2}\,\mathrm{g/(cm\cdot s)}, g=980\,\mathrm{cm/s^{2}},
diâmetro d e \psi.

Passo 2

Em regime de Stokes a velocidade terminal de uma partícula esférica de diâmetro d é
v_{t,\mathrm{esfera}} =\frac{(\rho_{p}-\rho_{f})\,g\,d^{2}}{18\,\mu}\,.
Para partícula não esférica usamos o fator de forma dinâmico \chi=1/\psi, o que reduz a velocidade em \chi. Assim
v_{t} =\frac{(\rho_{p}-\rho_{f})\,g\,d^{2}}{18\,\mu\,\chi} =\frac{(\rho_{p}-\rho_{f})\,g\,d^{2}\,\psi}{18\,\mu}\,.

Passo 3

Cálculo para d=1\,\mu\mathrm{m}=1\times10^{-4}\,\mathrm{cm}:
\Delta\rho=\rho_{p}-\rho_{f}=3,5-0,9979=2,5021\,\mathrm{g/cm^{3}},
v_{t} =\frac{2,5021\cdot980\cdot(1\times10^{-4})^{2}\cdot0,7}{18\cdot1,0096\times10^{-2}} \approx9,45\times10^{-5}\,\mathrm{cm/s} =9,45\times10^{-7}\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo para d=23\,\mu\mathrm{m}=2,3\times10^{-3}\,\mathrm{cm}:
v_{t} =\frac{2,5021\cdot980\cdot(2,3\times10^{-3})^{2}\cdot0,7}{18\cdot1,0096\times10^{-2}} \approx4,994\times10^{-2}\,\mathrm{cm/s} =4,99\times10^{-4}\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

Como se vê na fórmula, v_{t}\propto d^{2}. Ou seja, se o diâmetro dobra, a velocidade terminal quadruplica (no regime de Stokes). Assim partículas maiores assentam (e requerem escoamento ascendente) muito mais rápido do que partículas minúsculas.

Resposta

Velocidades de elutriação (igual ao v_{t}):
para d=1\,\mu\mathrm{m},
v_{t}\approx9,45\times10^{-7}\,\mathrm{m/s};
para d=23\,\mu\mathrm{m},
v_{t}\approx4,99\times10^{-4}\,\mathrm{m/s}.
A velocidade terminal cresce com o quadrado do diâmetro da partícula.

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