No processamento de açúcar a partir de caldo de cana, é usada a operação de decantação para separar as partículas indesejadas. O processo ocorre a 30^{\circ} \mathrm{C} e o diâmetro das partículas foi obtido experimentalmente, sendo 2,9 \mu \mathrm{~m} e a densidade das partículas foi de 1180 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Determine a velocidade terminal dessas partículas considerando regime em escoamento laminar e adote as propriedades da água para o caldo clarificado. Dados da água a 30^{\circ} \mathrm{C} : viscosidade 8 \times 10^{-4} \mathrm{~Pa}.s e densidade 995,67 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade terminal de partículas esféricas de diâmetro \,2,9\,\mu\mathrm{m} e densidade \,1180\,\mathrm{kg/m^3} sedimentando em um fluido (caldo clarificado) cujas propriedades são as da água a 30^\circ\mathrm C: densidade \,995,67\,\mathrm{kg/m^3} e viscosidade \,8\times10^{-4}\,\mathrm{Pa\cdot s}. Como o problema indica regime laminar, vamos usar a lei de Stokes para esferas.

Passo 2

Em regime laminar (número de Reynolds \mathrm{Re}\ll1), a velocidade terminal de uma partícula esférica é dada por
v_t = \frac{d^2\,(\rho_p - \rho_f)\,g}{18\,\mu}\,,
onde \,d é o diâmetro da partícula, \,\rho_p é a densidade da partícula, \,\rho_f é a densidade do fluido, \,g=9,81\,\mathrm{m/s^2} é a gravidade, \,\mu é a viscosidade do fluido.

Passo 3

Calculamos os parâmetros necessários:
\Delta\rho = \rho_p - \rho_f = 1180 - 995{,}67 = 184{,}33\;\mathrm{kg/m^3},
d = 2{,}9\,\mu\mathrm m = 2{,}9\times10^{-6}\,\mathrm m,
d^2 = (2{,}9\times10^{-6})^2 = 8{,}41\times10^{-12}\,\mathrm{m^2}.

Passo 4

Substituindo em
v_t = \frac{8{,}41\times10^{-12}\,\times184{,}33\,\times9{,}81}{18\,\times8\times10^{-4}}
v_t \approx \frac{1{,}52\times10^{-8}}{1{,}44\times10^{-2}} =1{,}06\times10^{-6}\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

Verificamos o número de Reynolds para confirmar o regime laminar:
\mathrm{Re} = \frac{\rho_f\,v_t\,d}{\mu} \approx \frac{995{,}67\times1{,}06\times10^{-6}\times2{,}9\times10^{-6}}{8\times10^{-4}} \sim3{,}8\times10^{-6}\ll1,
portanto a hipótese de escoamento laminar (Stokes) está satisfeita.

Resposta

A velocidade terminal das partículas é aproximadamente
v_t = 1{,}06\times10^{-6}\,\mathrm{m/s}.

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