Determine um fator integrante e resolva as equações diferenciais dadas.
y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = y\bigl(x+y+1\bigr)\,dx + (x+2y)\,dy = 0
e pede para achar um fator integrante e resolver a equação. O conteúdo é de formas diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro verificamos se a forma é exata, calculando
\frac{\partial M}{\partial y}=x+2y+1, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=1.
Como \partial M/\partial y\neq \partial N/\partial x, não é exata. Para buscar um fator integrante em x, usamos a condição
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}
e verificamos se depende só de x.

Passo 3

Calculamos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{(x+2y+1)-1}{x+2y} =\frac{x+2y}{x+2y}=1,
que é função apenas de x (na verdade constante). Logo um fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\bigl(\!\int 1\,dx\bigr)=e^x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por e^x, obtendo
\tilde M\,dx + \tilde N\,dy =e^x y(x+y+1)\,dx + e^x(x+2y)\,dy=0,
que agora é exata. Para achar a função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=\tilde M e \Psi_y=\tilde N, integramos \tilde M em x (tratando y como constante):
\Psi(x,y) =\int e^x y(x+y+1)\,dx =y\int x e^x\,dx +y^2\int e^x\,dx +y\int e^x\,dx =y\bigl(xe^x -e^x\bigr)+y^2 e^x +y e^x.
Reagrupando,
\Psi(x,y)=e^x y(x+y).

Passo 5

A solução geral está dada implicitamente por
\Psi(x,y)=C,
isto é
e^x\,y\,(x+y)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

O fator integrante é
\mu(x)=e^x.
A solução geral é
e^x\,y\,(x+y)=C.

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