Determine um fator integrante e resolva as equações diferenciais dadas.
y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0
y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a diferencial
e pede para achar um fator integrante e resolver a equação. O conteúdo é de formas diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro verificamos se a forma é exata, calculando
Como
, não é exata. Para buscar um fator integrante em
, usamos a condição
e verificamos se depende só de
.
Passo 3
Calculamos
que é função apenas de
(na verdade constante). Logo um fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
que agora é exata. Para achar a função potencial
tal que
e
, integramos
em
(tratando
como constante):
Reagrupando,
Passo 5
A solução geral está dada implicitamente por
isto é
com
constante arbitrária.
Resposta
O fator integrante é
A solução geral é