Determinar os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico
  • 9 x^2+25 y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a elipse
9x^2 + 25y^2 = 1
que é do tipo
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui vamos usar a identificação de a e b, a fórmula dos vértices, dos focos e da excentricidade.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão:
9x^2 + 25y^2 = 1 Long<=ftrightarrow x^2tfrac19 + y^2tfrac125 = 1
Portanto
a^2 = tfrac19, b^2 = tfrac125,
e como a^2>b^2, o eixo maior é horizontal, com
a=13 e b=15.

Passo 3

Os vértices A1 e A2 ficam nos pontos extremos do eixo maior, ou seja
A1 = l(a,,0r) = l(tfrac13,0r), A2 = l(-a,,0r) = l(-tfrac13,0r)

Passo 4

Para achar os focos usamos
c^2 = a^2 - b^2 = 19 - 125 = 25-9225 = 16225,
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c = 415
Como o eixo maior é horizontal, os focos são
F1 = l(tfrac415,0r), F2 = l(-tfrac415,0r)

Passo 5

A excentricidade de uma elipse é
e = ca = tfrac415tfrac13 = 415cdot3 = 45
Esboço: é uma oval centrada na origem, com semi-eixo horizontal a=tfrac13 e vertical b=tfrac15.

Resposta

A1 = l(tfrac13,0r)
A2 = l(-tfrac13,0r)
Focos: l(pmtfrac415,0r)
Excentricidade: e=tfrac45
Esboço: elipse centrada em (0,0), semi-eixo maior 1/3 no eixo x e semi-eixo menor 1/5 no eixo y.

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