Determinar os vértices e a imagem das parábolas
y=-x^2+12 x+32

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vértice e a imagem da função quadrática y=-x^2 + tfrac12 x + tfrac32. Vamos usar conteúdo de função polinomial de 2º grau e a fórmula do vértice ( xv=-tfracb2a e yv=f(xv)), além de observar a concavidade para determinar o intervalo de valores que y pode assumir.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da forma geral y=ax^2+bx+c: aqui a=-1, b=tfrac12 e c=tfrac32. Como a<0, a parábola é voltada para baixo, indicando que o vértice será um ponto de máximo.

Passo 3

Aplicamos a fórmula do vértice em x:
xv=-b2a=-tfrac122cdot(-1)=1/22=14

Passo 4

Agora substituímos xv=tfrac14 em f(x) para achar yv:
yv=-l(14r)^2+12cdot14+32=-116+18+32=2516

Passo 5

Como a parábola abre para baixo, o valor yv=tfrac2516 é o máximo de y. Portanto, a imagem da função é todos os valores y até esse máximo.

Passo 6

Conclusão: o vértice é o ponto l(tfrac14,tfrac2516r) e a imagem é o intervalo .

Resposta

Vértice: l(tfrac14,tfrac2516r); Imagem: ( -infty, tfrac2516 ]

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