Determinar os vértices e a imagem das parábolas
y=-x^2+x-29

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vértice e a imagem da parábola dada por y = –x² + x – 2/9. O assunto é função quadrática, e vamos usar a técnica de completar o quadrado para encontrar o vértice e deduzir a imagem.

Passo 2

Primeiro, fatoramos –1 e completamos o quadrado dentro de colchetes:
y = -x^2 + x - 29 = -l(x^2 - xr) - 29
Agora, dentro de x^2 - x adicionamos e subtraímos (1/2)^2:
x^2 - x = x^2 - x + 14 - 14 = (x - tfrac12)^2 - tfrac14
Substituindo de volta em y:
y = -l[(x - tfrac12)^2 - tfrac14r] - 29 = -(x - tfrac12)^2 + 14 - 29
Por fim, calculamos 14 - 29 = 9 - 836 = 136, logo
y = -(x - tfrac12)^2 + tfrac136

Passo 3

Da forma completada, vemos que o vértice (h,k) é
h = tfrac12, k = tfrac136

Passo 4

Como a parábola está na forma y = -(x - h)^2 + k com coeficiente negativo, ela tem máximo em k = tfrac136. Assim, a imagem é o conjunto de todos os y tais que
y <= tfrac136.

Resposta

Vértice: (\tfrac12,\tfrac1{36})
Imagem: (-∞,\tfrac1{36}]

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