Determine cada um dos limites dados a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Isso envolve limite de funções exponenciais com indeterminação 0/0. Vamos usar a regra de L’Hôpital e o fato de que a derivada de
é
.
Passo 2
Primeiro, verificamos a forma indeterminada fazendo a substituição direta
:
Logo temos
, então a regra de L’Hôpital se aplica.
Passo 3
Aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a
:
Numerador: .
Denominador: .
Numerador:
Denominador:
Passo 4
Agora reescrevemos o limite com essas derivadas e avaliamos em
:
$$
\lim_{x\to0}\frac{2\ln(3),3{2x}}{5\ln(2),2{5x}}
\frac{2\ln(3),3{0}}{5\ln(2),2{0}}
\frac{2\ln(3)}{5\ln(2)}
$$