Determine cada um dos limites dados a seguir.
lim x 0 3^2 x-12^5 x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto 03^2x-12^5x-1
Isso envolve limite de funções exponenciais com indeterminação 0/0. Vamos usar a regra de L’Hôpital e o fato de que a derivada de a^u é a^uln(a)cdot u'.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma indeterminada fazendo a substituição direta x=0:
3^2cdot0-1=1-1=0,
2^5cdot0-1=1-1=0
Logo temos 0/0, então a regra de L’Hôpital se aplica.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
Numerador: ddx(3^2x-1)=2ln(3)cdot3^2x.
Denominador: ddx(2^5x-1)=5ln(2)cdot2^5x.

Passo 4

Agora reescrevemos o limite com essas derivadas e avaliamos em x=0:
$$
\lim_{x\to0}\frac{2\ln(3),3{2x}}{5\ln(2),2{5x}}

\frac{2\ln(3),3{0}}{5\ln(2),2{0}}

\frac{2\ln(3)}{5\ln(2)}
$$

Resposta

2ln(3)5ln(2)

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