Usando propriedades, calcular os limites seguintes:
1.1. \lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\\ y \rightarrow 2}}\left(2 x y+x^{2}-\frac{x}{y}\right)
1.2. \lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\\ y \rightarrow-1}} \frac{x+y-2}{x^{2}+y^{2}}
1.3. \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \sqrt{\frac{x-1}{x^{2} y^{2}+x y-1}}
1.4. \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x y}\right)
1.5. \lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{1}{x+y}-10\right)
1.6. \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 1}} \frac{x^{2}+y^{2}-x y+7}{x^{3}+y^{3}-7}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limites de funções de duas variáveis usando propriedades de limites e continuidade. Para funções polinomiais, racionais e radicais, se não houver indeterminação ou divisão por zero, podemos aplicar diretamente a substituição do ponto de interesse. No caso de limites em que as variáveis tendem a infinito, usamos as regras de limites para termos dominantes.

Passo 2

Para
\lim_{\substack{x\to1\y\to2}}\bigl(2xy + x^2 - \tfrac{x}{y}\bigr),
a função é soma e produto de termos contínuos em (1,2) e y\neq0. Logo substituímos diretamente:
2\cdot1\cdot2 + 1^2 - \frac{1}{2} = 4 + 1 - \tfrac12 = \tfrac{9}{2}.

Passo 3

Para
\lim_{\substack{x\to2\y\to-1}} \frac{x+y-2}{x^2+y^2},
novamente não há indeterminação em (2,-1), pois o denominador vale 2^2+(-1)^2=5\neq0. Substituindo:
\frac{2 + (-1) - 2}{4 + 1} = \frac{-1}{5} = -\tfrac{1}{5}.

Passo 4

Para
\lim_{\substack{x\to0\y\to0}} \sqrt{\frac{x-1}{x^2y^2 + xy - 1}},
o radicando em (0,0) é
\tfrac{0-1}{0+0-1} = \tfrac{-1}{-1} = 1. Como a raiz quadrada é contínua em 1, o limite é
\sqrt{1} = 1.

Passo 5

Para
\lim_{\substack{x\to0\y\to0}}\bigl(\sqrt{x^2+1} - \sqrt{xy}\bigr),
temos \sqrt{x^2+1}\to\sqrt{1}=1 e \sqrt{xy}\to\sqrt{0}=0. Pelo limite da diferença,
1 - 0 = 1.

Passo 6

Para
\lim_{\substack{x\to+\infty\y\to+\infty}}\Bigl(\tfrac{1}{x+y} - 10\Bigr),
note que x+y\to+\infty implica \tfrac{1}{x+y}\to0. Portanto
0 - 10 = -10.

Passo 7

Para
\lim_{\substack{x\to0\y\to1}} \frac{x^2 + y^2 - xy + 7}{x^3 + y^3 - 7},
avaliamos numerador e denominador em (0,1):
\text{num} = 0^2 + 1^2 - 0\cdot1 + 7 = 8, \quad \text{den} = 0^3 + 1^3 - 7 = -6.
Logo o limite é
\tfrac{8}{-6} = -\tfrac{4}{3}.

Resposta

1.1 \tfrac{9}{2}
1.2 -\tfrac{1}{5}
1.3 1
1.4 1
1.5 -10
1.6 -\tfrac{4}{3}

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