Escrever o vetor normal principal das seguintes curvas no ponto dado:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida pela equação vetorial:
onde
está no intervalo de
. O ponto específico que a gente quer analisar é
. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo vetorial, especificamente sobre curvas parametrizadas pelo comprimento de arco. O que queremos encontrar é o vetor normal principal nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor normal principal (
) é perpendicular ao vetor tangente (
) da curva no ponto considerado. Para encontrar
, a gente precisa primeiro achar o vetor tangente
.
Passo 3
Como a curva está parametrizada pelo comprimento de arco
, a derivada de
em relação a
nos dá o vetor tangente unitário:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 4
Vamos derivar cada componente de
:
Então,
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor normal principal
, precisamos derivar
em relação a
e normalizar:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 6
Derivando cada componente de
:
Então,
Passo 7
Precisamos normalizar esse vetor para obter o vetor normal principal. Vamos calcular o módulo de
:
Então,
Passo 8
Agora, vamos encontrar o valor de
correspondente ao ponto
.
Igualando as componentes de
às coordenadas de
:
Sabemos que , então:
Passo 9
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Resposta
O vetor normal principal no ponto
é: