Escrever o vetor normal principal das seguintes curvas no ponto dado:
b) vec{r}(s) = (4 * cos(s / 4), 4 * sen(s / 4), s in [0, 8 * pi]; P_{0}(2 * raiz(2), 2 * raiz(2))

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida pela equação vetorial:
onde está no intervalo de . O ponto específico que a gente quer analisar é . A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo vetorial, especificamente sobre curvas parametrizadas pelo comprimento de arco. O que queremos encontrar é o vetor normal principal nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor normal principal ( ) é perpendicular ao vetor tangente ( ) da curva no ponto considerado. Para encontrar , a gente precisa primeiro achar o vetor tangente .

Passo 3

Como a curva está parametrizada pelo comprimento de arco , a derivada de em relação a nos dá o vetor tangente unitário:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 4

Vamos derivar cada componente de :
Então,

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor normal principal , precisamos derivar em relação a e normalizar:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 6

Derivando cada componente de :
Então,

Passo 7

Precisamos normalizar esse vetor para obter o vetor normal principal. Vamos calcular o módulo de :
Então,

Passo 8

Agora, vamos encontrar o valor de correspondente ao ponto .
Igualando as componentes de às coordenadas de :
Sabemos que , então:

Passo 9

Finalmente, substituímos na expressão de :

Resposta

O vetor normal principal no ponto é:

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