Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados:
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos determinar o vetor binormal da curva dada por no ponto onde
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o quadro de Frenet-Serret, que nos fornece os vetores tangent, normal e binormal de uma curva no espaço.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar a derivada da posição
em relação a
, que nos dará o vetor velocidade
. Calculando:
Passo 3
Em seguida, precisamos encontrar o vetor aceleração
, que é a derivada da velocidade:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor tangente unitário
. Primeiro, encontramos a magnitude do vetor velocidade:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 5
O próximo passo é encontrar o vetor normal unitário
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 6
Finalmente, para encontrar o vetor binormal
, usamos o produto vetorial entre
e
:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Resposta
O vetor binormal da curva no ponto
é: