Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados:
c) r(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), t) em t = pi/2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos determinar o vetor binormal da curva dada por no ponto onde . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o quadro de Frenet-Serret, que nos fornece os vetores tangent, normal e binormal de uma curva no espaço.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar a derivada da posição vec(r)(t) em relação a t, que nos dará o vetor velocidade . Calculando:

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar o vetor aceleração , que é a derivada da velocidade:

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor tangente unitário vec(T)(t). Primeiro, encontramos a magnitude do vetor velocidade:
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 5

O próximo passo é encontrar o vetor normal unitário vec(N)(t). Primeiro, derivamos vec(T)(t) em relação a t:
Agora, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor normal unitário é:

Passo 6

Finalmente, para encontrar o vetor binormal B(t), usamos o produto vetorial entre vec(T)(t) e vec(N)(t):
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Resposta

O vetor binormal da curva no ponto é:

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