Nos problemas de 8 a 11, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre convoluções.
8. F(s) = 1 / (s^4 * (s^2 + 1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercícios 8 que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função usando o teorema da convolução. Basicamente, vamos precisar entender como usar a convolução para encontrar a função no tempo a partir da função no domínio de .

Passo 2

Primeiro, vamos separar em duas partes que a gente conhece a transformada inversa. Podemos escrever:
Assim, identificamos duas funções:

Passo 3

Agora, vamos achar a transformada inversa de cada uma dessas funções individualmente.
  • Para , sabemos que: Então, com :
  • Para , sabemos que: Com :

Passo 4

Com as duas funções no tempo e , vamos aplicar o teorema da convolução. Esse teorema diz que:
Então, substituindo:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Para simplificar, usamos uma substituição, por exemplo, deixando , mas aqui vamos direto integrar por partes. Sabemos que integrar pode ser trabalhoso, mas seguindo os passos de integração por partes repetidas, a solução final fica:

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é:

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