Nos problemas de 8 a 11, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre convoluções.
8.
8.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercícios 8 que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função
usando o teorema da convolução. Basicamente, vamos precisar entender como usar a convolução para encontrar a função no tempo a partir da função no domínio de
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar
em duas partes que a gente conhece a transformada inversa. Podemos escrever:
Assim, identificamos duas funções:
Passo 3
Agora, vamos achar a transformada inversa de cada uma dessas funções individualmente.
- Para
, sabemos que: Então, com : - Para
, sabemos que: Com :
Passo 4
Com as duas funções no tempo
e
, vamos aplicar o teorema da convolução. Esse teorema diz que:
Então, substituindo:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Para simplificar, usamos uma substituição, por exemplo, deixando
, mas aqui vamos direto integrar por partes. Sabemos que integrar
pode ser trabalhoso, mas seguindo os passos de integração por partes repetidas, a solução final fica:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: