Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar os critérios de convergência de séries que estudamos na aula, como o Teste da Comparação e o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os termos da série:
. O
cresce bem rápido conforme
aumenta, mas o
diminui ainda mais rápido. Precisamos ver qual desses efeitos domina para saber se a soma total converge.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que
decai mais rápido que qualquer função polinomial. Então, mesmo que
cresça, o
deve fazer a série convergir.
Passo 4
Para aplicar o Teste da Comparação, vamos comparar nossa série com uma série conhecida que converge. Por exemplo, consideremos a série
, que é uma série geométrica convergente porque a razão
.
Passo 5
Observamos que para todo
,
E sabemos que
também converge, já que o termo
domina o crescimento de
. Portanto, nossa série original é menor que uma série convergente.
Passo 6
Como satisfazemos as condições do Teste da Comparação (termos positivos e comparação com uma série convergente), podemos concluir que a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.