Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty n^3 e^-n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar os critérios de convergência de séries que estudamos na aula, como o Teste da Comparação e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da série: . O cresce bem rápido conforme aumenta, mas o diminui ainda mais rápido. Precisamos ver qual desses efeitos domina para saber se a soma total converge.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que decai mais rápido que qualquer função polinomial. Então, mesmo que cresça, o deve fazer a série convergir.

Passo 4

Para aplicar o Teste da Comparação, vamos comparar nossa série com uma série conhecida que converge. Por exemplo, consideremos a série , que é uma série geométrica convergente porque a razão .

Passo 5

Observamos que para todo n^3 e^-n^2 <= n^3 e^-n ,
E sabemos que também converge, já que o termo domina o crescimento de . Portanto, nossa série original é menor que uma série convergente.

Passo 6

Como satisfazemos as condições do Teste da Comparação (termos positivos e comparação com uma série convergente), podemos concluir que a série também converge.

Resposta

A série é convergente.

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