Determine se as séries a seguir são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty (-1)^n-1raizn

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumn=1^infty (-1)^n-1raizn é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de convergência de séries, especificamente analisando convergência absoluta e convergência condicional. Precisaremos usar o Teste da Convergência Absoluta e o Teste da Convergência Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1raizn | = sumn=1^infty 1raizn

Passo 3

Agora, vamos analisar a série sumn=1^infty 1raizn. Essa é uma série p onde p = 12. Sabemos que uma série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1.

Passo 4

Como p = 12 <= 1, a série sumn=1^infty 1raizn diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente usando o Teste da Converg��ncia Alternada. Esse teste diz que se os termos da série alternada sum (-1)^n bn satisfazem:
  1. bn > 0
  2. bn é decrescente
  3. limn to infty bn = 0
Então, a série é convergente.

Passo 6

No nosso caso, bn = 1raizn.
  1. bn > 0 para todo n.
  2. A sequência 1raizn é decrescente porque, à medida que n aumenta, bn diminui.
  3. limn to infty 1raizn = 0.

Passo 7

Como todas as condições do Teste da Convergência Alternada são satisfeitas, a série sumn=1^infty (-1)^n-1raizn converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n-1raizn é condicionalmente convergente.

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