Determine se as séries a seguir são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de convergência de séries, especificamente analisando convergência absoluta e convergência condicional. Precisaremos usar o Teste da Convergência Absoluta e o Teste da Convergência Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos dos termos:
Passo 3
Agora, vamos analisar a série sumn=1^infty 1raizn. Essa é uma série p onde p = 12. Sabemos que uma série p converge se p > 1 e diverge se p <= 1.
Passo 4
Como p = 12 <= 1, a série sumn=1^infty 1raizndiverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente usando o Teste da Converg��ncia Alternada. Esse teste diz que se os termos da série alternada sum (-1)^n bn satisfazem:
bn > 0
bn é decrescente
limn to infty bn = 0
Então, a série é convergente.
Passo 6
No nosso caso, bn = 1raizn.
bn > 0 para todo n.
A sequência 1raizn é decrescente porque, à medida que n aumenta, bn diminui.
limn to infty 1raizn = 0.
Passo 7
Como todas as condições do Teste da Convergência Alternada são satisfeitas, a série sumn=1^infty (-1)^n-1raiznconverge.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n-1raizn é condicionalmente convergente.