Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados:
d) r(t) = (2 cos(2 t), 3, 2 sen(2 t)) em t = pi/8

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o vetor binormal da curva dada por no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Diferencial, especificamente sobre os vetores da TBN (Tangent, Normal e Binormal). Precisaremos calcular derivadas da função vetor para encontrar esses vetores e, por fim, determinar o vetor binormal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade , que é a primeira derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração , que é a segunda derivada de :

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor tangente unitário . Para isso, normalizamos o vetor velocidade :
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário . Para isso, calculamos a derivada de em relação a e depois normalizamos:
Calculamos a magnitude dessa derivada:
Então,

Passo 6

Finalmente, vamos determinar o vetor binormal que é o produto vetorial de e :
Calculando o produto vetorial:
Como ,

Resposta

O vetor binormal da curva no ponto é .

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