Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o vetor binormal da curva dada por no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Diferencial, especificamente sobre os vetores da TBN (Tangent, Normal e Binormal). Precisaremos calcular derivadas da função vetor para encontrar esses vetores e, por fim, determinar o vetor binormal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
, que é a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração
, que é a segunda derivada de
:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor tangente unitário
. Para isso, normalizamos o vetor velocidade
:
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário
. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
e depois normalizamos:
Calculamos a magnitude dessa derivada:
Então,
Passo 6
Finalmente, vamos determinar o vetor binormal
que é o produto vetorial de
e
:
Calculando o produto vetorial:
Como ,
Resposta
O vetor binormal da curva no ponto
é
.